Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 11: Parabool, kolmnurk ja kõvertrapets

Joonisel on funktsiooni $\esile{f}{f(x) = -x^2 + 4x}$ graafik (vt joonist).

1.Arvutage punktide $A$ , $B$ ja $C$ koordinaadid, kui punkt $C$ on parabooli haripunkt ning punktid $A$ ja $B$ on funktsiooni $f(x)$ graafiku lõikepunktid $x$ -teljega.
2.Joonestage kolmnurk $ABC$ ja arvutage selle kolmnurga pindala.
3.Kõvertrapetsit piiravad $x$ -telg ja funktsiooni $f(x)$ graafik. Arvutage kõvertrapetsi pindala.
4.Mitme protsendi võrra on kolmnurga $ABC$ pindala kõvertrapetsi pindalast väiksem?

Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2019, ülesanne 11

Ülesande joonis

y = ax^2 + bx + c

x_h = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2}

y_h = f(x_h)

S = \frac{a \cdot h}{2}

h \text{ on küljele } a \text{ tõmmatud kõrgus}

\int dx = x + C, \quad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ n \ne -1

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int e^x\,dx = e^x + C, \quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C

C \text{ on konstant}

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

F \text{ on } f \text{ algfunktsioon: } F'(x) = f(x)

S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx, \quad \text{kui } f(x) \ge g(x) \text{ lõigul } [a;\,b]

p\% \text{ arvust } a = \frac{p}{100} \cdot a

\frac{a}{b} \cdot 100\% \quad (\text{mitu protsenti on } a \text{ arvust } b)

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.