Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 6: Võistkonna liikmete vanused
Telemängu „Mis? Kus? Millal?” ühes võistkonnas on kuus liiget, kelle kõigi vanusest täisaastates moodustub aritmeetiline jada.Kahe vanema liikme vanuse summa on viis korda suurem kõige noorema liikme vanusest.Selle võistkonna kõigi liikmete vanuse summa on 264 aastat.
1.Kui vana on selle võistkonna kõige vanem liige?
2.Mis on selle võistkonna liikmete keskmine vanus?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2019, ülesanne 6
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: aritmeetiline keskmine
x=nx1+x2+…+xn
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista kõige noorema liikme vanus a1 ja jada vahe d. Kirjuta mõlemast tingimusest võrrand.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Kirjuta esimene tingimus võrrandina
Esimeses küsimuses tuleb leida vanima liikme vanus. Järjestame liikmed noorimast vanimani: noorima vanus on a1, jada vahe on d ja kaks vanimat on a5 ja a6.
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Avaldame viienda ja kuuenda liikme.
a5=a1+4d,a6=a1+5d
Kahe vanema summa on viis korda noorima vanus.
(a1+4d)+(a1+5d)=5a1
Koondame: vasakul on 2a1+9d. Viime 2a1 paremale poole.
9d=5a1−2a1=3a1
Jagame mõlemaid pooli arvuga 3.
a1=3d
„Viis korda suurem“ tähendab, et summa võrdub viiekordse noorima vanusega: a5+a6=5a1. Kuna 9d=3a1, on a1=39d=3d.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kirjuta summa tingimus võrrandina
Kirjutame aritmeetilise jada esimese n liikme summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame n=6, a6=a1+5d ja S6=264.
2(a1+a1+5d)⋅6=264
Lihtsustame: 26=3.
3(2a1+5d)=264
Jagame mõlemaid pooli arvuga 3.
2a1+5d=88
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lahenda võrrandisüsteem
Meil on kaks võrrandit kahe tundmatuga. Asendame esimesest võrrandist a1=3d teise.
Kirjutame võrrandisüsteemi.
{a1=3d2a1+5d=88
Asendame teises võrrandis a1 avaldisega 3d.
2⋅3d+5d=88⇒11d=88
Jagame mõlemaid pooli arvuga 11.
d=1188=8
Leiame noorima liikme vanuse.
a1=3⋅8=24
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Leia vanima liikme vanus
Vanim liige on jada kuues liige.
a6=a1+5d=24+5⋅8=24+40=64
Kõik vanused on 24, 32, 40, 48, 56 ja 64. Kontroll: kahe vanema summa 56+64=120=5⋅24 ja kõigi summa 24+32+40+48+56+64=264.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta keskmine vanus
Teises küsimuses on vaja keskmist vanust. Kõigi vanuste summa on antud, liikmeid on kuus.
Kirjutame aritmeetilise keskmise valemi.
x=nx1+x2+…+xn
Vanuste summa on 264 ja liikmeid on 6.
x=6264=44
Aritmeetilises jadas on keskmine sama mis esimese ja viimase liikme keskmine: 224+64=44.
VASTUS
1) Võistkonna kõige vanem liige on 64-aastane. 2) Võistkonna liikmete keskmine vanus on 44 aastat.