Kitsas riigieksam 2020, ülesanne 1: Võrdhaarse kolmnurga suurim nurk ja pindala
Kolmnurga küljed on 5 cm, 6 cm ja 5 cm. Arvutage selle kolmnurga suurim nurk ja täpne pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2020, ülesanne 1
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmnurga suurim nurk on pikima külje vastas; selle leiad koosinusteoreemiga. Kolmnurk on võrdhaarne, seega alusele tõmmatud kõrgus poolitab aluse.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia suurima nurga koosinus
Kolmnurgas on suurim nurk pikima külje vastas. Pikim külg on 6 cm. Tähistame selle c-ga ja tema vastasnurga γ-ga. Kaks ülejäänud külge on a=5 cm ja b=5 cm.
Kirjutame koosinusteoreemi nurga γ jaoks.
c2=a2+b2−2abcosγ
Asendame c=6, a=5 ja b=5.
62=52+52−2⋅5⋅5⋅cosγ
Arvutame ruudud ja korrutise.
36=50−50cosγ
Viime liikme 50cosγ vasakule ja arvu 36 paremale poole.
50cosγ=50−36
Arvutame paremal pool.
50cosγ=14
Jagame mõlemaid pooli arvuga 50.
cosγ=5014=0,28
c=6 cma=5 cmb=5 cmγABC
Koosinusteoreem seob kolmnurga kolm külge ja ühe nurga: nurk on alati selle külje vastas, mis on valemis vasakul pool. Kuna otsime suurimat nurka, peab vasakul olema pikim külg c=6.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia nurk
Leiame taskuarvutiga nurga, mille koosinus on 0,28 (klahv cos−1).
γ=cos−10,28≈73,74∘≈73,7∘
c=6 cma=5 cmb=5 cmγγ≈73,7∘ABC
Koosinus on positiivne, seega on nurk terav. Kraadides ja minutites on γ≈73∘44′. Kontrolliks: kaks ülejäänud nurka on võrdsed ja kumbki on 2180∘−73,74∘≈53,1∘, mis on väiksem kui γ.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia kolmnurga kõrgus
Pindala jaoks on vaja kõrgust. Kolmnurk on võrdhaarne (a=b=5 cm), seega alusele AB tõmmatud kõrgus CD poolitab aluse: AD=6:2=3 cm. Kolmnurk ADC on täisnurkne.
Kirjutame täisnurkse kolmnurga ADC kohta Pythagorase teoreemi; hüpotenuus on AC=5.
h2+32=52
Arvutame ruudud ja viime arvu 9 paremale poole.
h2=25−9=16
Võtame ruutjuure; kõrgus on positiivne.
h=16=4 cm
c=6 cma=5 cmb=5 cmγγ≈73,7∘h=4 cm3ABCD
Võrdhaarses kolmnurgas on alusele tõmmatud kõrgus ühtlasi mediaan, seega jagab see aluse kaheks võrdseks osaks.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Arvuta pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
S=2c⋅h
Asendame aluse c=6 cm ja kõrguse h=4 cm.
S=26⋅4=224=12 cm2
c=6 cma=5 cmb=5 cmγγ≈73,7∘h=4 cm3S=12cm2ABCD
Pindala on täpne, sest kõrgus tuli täisarvuna. Sama tulemuse annab Heroni valem: poolümbermõõt on p=25+6+5=8 ja S=8⋅3⋅2⋅3=144=12. Ka valem S=21absinγ annab täpse vastuse, sest sinγ=1−0,282=0,96 ja 21⋅5⋅5⋅0,96=12.
VASTUS
Kolmnurga suurim nurk on γ≈73,7∘ ja kolmnurga täpne pindala on 12 cm2.