Kitsas riigieksam 2020, ülesanne 10: Täisnurkne trapets koordinaattasandil
Trapetsi ABCDlühema haara CD otspunktid on C(1;9) ja D(5;1). Haara AB keskpunkt on punkt M(−5;1) ja haaral AB asub vektor MA=(6;−2).
1.Arvutage punktide A ja B koordinaadid.
2.Joonestage koordinaattasandile trapets ABCD ja näidake arvutuste abil, et see trapets on täisnurkne.
3.Arvutage trapetsi ABCD pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2020, ülesanne 10
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Vektor MA näitab, kuidas punktist M jõuda punkti A. Kuna M on lõigu AB keskpunkt, jõuab punktist M punkti B vastupidise vektoriga. Täisnurga näitamiseks kasuta vektorite skalaarkorrutist.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkt A
Esimeses küsimuses tuleb leida punktid A ja B. Vektor MA=(6;−2) näitab, kui palju tuleb punktist M liikuda, et jõuda punkti A: 6 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.
Kirjutame vektori koordinaadid lõpp- ja alguspunkti kaudu.
MA=(xA−xM;yA−yM)
Seega saame punkti A, kui liidame punkti M koordinaatidele vektori koordinaadid.
A(−5+6;1+(−2))=A(1;−1)
110xyMAC(1;9)D(5;1)M(−5;1)A(1;−1)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia punkt B
Punkt M on lõigu AB keskpunkt, seega punkt B asub punktist M sama kaugel kui A, aga vastupidises suunas: MB=−MA=(−6;2).
Liidame punkti M koordinaatidele vektori MB koordinaadid.
B(−5+(−6);1+2)=B(−11;3)
Kontrollime keskpunkti valemiga, et M on lõigu AB keskpunkt.
M(21+(−11);2−1+3)=M(−5;1)
110xyMAC(1;9)D(5;1)M(−5;1)A(1;−1)B(−11;3)
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Joonesta trapets ja leia selle alused
Teises küsimuses joonestame trapetsi ja näitame, et see on täisnurkne. Kandsime punktid A, B, C ja D koordinaattasandile ning ühendasime need järjekorras. Haarad on AB ja CD, seega peavad alused AD ja BC olema paralleelsed. Kontrollime seda vektoritega.
Arvutame aluste vektorid.
AD=(5−1;1−(−1))=(4;2),BC=(1−(−11);9−3)=(12;6)
Vektori BC koordinaadid on 3 korda suuremad, seega vektorid on paralleelsed.
BC=3⋅AD⇒AD∥BC
110xyMAC(1;9)D(5;1)M(−5;1)A(1;−1)B(−11;3)
Kaks vektorit on paralleelsed, kui üks on teise arvkordne. Alus BC on 3 korda pikem kui alus AD.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Näita, et trapets on täisnurkne
Trapets on täisnurkne, kui üks haar on alustega risti. Kontrollime nurka D haara CD ja aluse AD vahel. Vektorid on risti, kui nende skalaarkorrutis on null.
Arvutame tipust D lähtuvad vektorid.
DA=(1−5;−1−1)=(−4;−2),DC=(1−5;9−1)=(−4;8)
Arvutame skalaarkorrutise.
DA⋅DC=(−4)⋅(−4)+(−2)⋅8=16−16=0
Samamoodi tipus C: CD=(4;−8) ja CB=(−12;−6).
CD⋅CB=4⋅(−12)+(−8)⋅(−6)=−48+48=0
Mõlemad nurgad on täisnurgad, seega trapets on täisnurkne.
∠D=∠C=90∘
110xyMAC(1;9)D(5;1)M(−5;1)A(1;−1)B(−11;3)
Kui haar CD on risti alusega AD, on ta risti ka sellega paralleelse alusega BC; seepärast tuleb ka nurk C täisnurk. Täisnurkses trapetsis on üks haar alustega risti ja see haar on trapetsi kõrgus.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta aluste ja kõrguse pikkused
Kolmandas küsimuses on vaja pindala. Trapetsi pindala jaoks on vaja aluste pikkusi ja kõrgust. Kõrgus on alustega risti olev haar CD.
Juured lihtsustuvad: 20=4⋅5=25, 180=36⋅5=65 ja 80=16⋅5=45. Teine haar on AB=122+42=160=410, mis on pikem kui CD, nagu ülesandes öeldud.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta trapetsi pindala
Kirjutame trapetsi pindala valemi.
S=2a+b⋅h
Asendame alused 25 ja 65 ning kõrguse 45.
S=225+65⋅45=285⋅45=45⋅45
Korrutame; 5⋅5=5.
45⋅45=16⋅5=80
Kontrolliks võib trapetsi jaotada ristkülikuks ja kolmnurgaks või arvutada pindala tippude koordinaatidest; tulemus on samuti 80 ruutühikut.
VASTUS
1) A(1;−1) ja B(−11;3). 2) Trapets on joonisel. Kuna BC=3AD, on alused AD ja BC paralleelsed, ja kuna DA⋅DC=0, on haar CD alustega risti, seega trapets on täisnurkne. 3) Trapetsi pindala on 80 ruutühikut.