Kitsas riigieksam 2021, ülesanne 10: Aritmeetiline ja geomeetriline jada
Aritmeetilise jada vahe on 32 ja geomeetrilise jada tegur on 32. Nii aritmeetilise jada neljas liige kui ka geomeetrilise jada teine liige on 9.
1.Arvutage mõlema jada esimene liige.
2.Arvutage aritmeetilise jada kuues liige ja esimese kuue liikme summa.
3.Arvutage geomeetrilise jada kolmanda ja kuuenda liikme summa.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 10
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: geomeetriline jada
an=a1⋅qn−1
Sn=q−1a1(qn−1),q=1
S=1−qa1,∣q∣<1(ha¨a¨buv jada)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta üldliikme valem aritmeetilise jada neljanda liikme ja geomeetrilise jada teise liikme jaoks ning avalda neist esimene liige.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia aritmeetilise jada esimene liige
Esimeses küsimuses tuleb leida mõlema jada esimene liige. Tähistame aritmeetilise jada liikmed an, vahe on d=32 ja a4=9.
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Neljanda liikme jaoks on n=4. Asendame a4=9 ja d=32.
9=a1+3⋅32
Korrutame.
9=a1+2
Lahutame mõlemast poolest 2.
a1=7
Neljandaks liikmeks jõudmiseks liidetakse esimesele liikmele vahe kolm korda: a4=a1+3d.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia geomeetrilise jada esimene liige
Tähistame geomeetrilise jada liikmed bn, tegur on q=32 ja b2=9.
Kirjutame geomeetrilise jada üldliikme valemi.
bn=b1⋅qn−1
Teise liikme jaoks on n=2. Asendame b2=9 ja q=32.
9=b1⋅32
Jagame mõlemaid pooli arvuga 32 ehk korrutame pöördarvuga 23.
b1=9⋅23=227=13,5
Geomeetrilises jadas korrutatakse iga liige teguriga, seega b2=b1⋅q. Kontroll: 13,5⋅32=9.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta aritmeetilise jada kuues liige
Teises küsimuses on vaja aritmeetilise jada kuuendat liiget ja esimese kuue liikme summat.
Asendame üldliikme valemisse n=6, a1=7 ja d=32.
a6=7+5⋅32=7+310=331=1031
7=321, seega 321+310=331=1031.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta esimese kuue liikme summa
Kirjutame aritmeetilise jada summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=7, a6=331 ja n=6.
S6=2(7+331)⋅6=352⋅3=52
7+331=321+331=352 ja 26=3. Kontroll liikmeid liites: 7+732+831+9+932+1031=52.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta geomeetrilise jada kolmas ja kuues liige
Kolmandas küsimuses on vaja geomeetrilise jada kolmandat ja kuuendat liiget.
Kolmas liige: n=3.
b3=13,5⋅(32)2=13,5⋅94=6
Kuues liige: n=6.
b6=13,5⋅(32)5=227⋅24332=916
(32)5=24332 ja 243=27⋅9, seega 2⋅27⋅927⋅32=916. Lühemalt: b3=b2⋅q=9⋅32=6 ja b6=b3⋅q3=6⋅278=916.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Liida liikmed
Liidame kolmanda ja kuuenda liikme.
b3+b6=6+916=970=797
6=954, seega 954+916=970=797≈7,78.
VASTUS
1) Aritmeetilise jada esimene liige on 7 ja geomeetrilise jada esimene liige on 13,5. 2) Aritmeetilise jada kuues liige on 1031 ja esimese kuue liikme summa on 52. 3) Geomeetrilise jada kolmanda ja kuuenda liikme summa on 797.