Kitsas riigieksam 2021, ülesanne 7: Täisnurkne kolmnurk ja nurgapoolitaja
Täisnurkse kolmnurga ABC kaateti AC pikkus on 8 cm ja pindala 60 cm2.
1.Arvutage kolmnurga ABC ümbermõõt.
2.Kaatetil BC asub punkt D nii, et lõik AD poolitab teravnurga BAC. Tehke tekstile vastav joonis ja arvutage kolmnurga ADB pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 7
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Täisnurkse kolmnurga pindala on kaatetite korrutise pool. Teises küsimuses leia kõigepealt nurk BAC tangensi abil, siis selle pool ja lõpuks lõik CD.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia teine kaatet
Esimeses küsimuses tuleb leida ümbermõõt, selleks on vaja kõiki külgi. Kaatetid AC ja BC on teineteisega risti, seega täisnurk on tipus C ja üks kaatet on teise kaateti kõrgus.
Täisnurkse kolmnurga pindala on pool kaatetite korrutisest.
S=2AC⋅BC
Asendame S=60 ja AC=8.
60=28⋅BC
Lihtsustame paremat poolt (28=4).
60=4⋅BC
Jagame mõlemaid pooli arvuga 4.
BC=15 cm
8 cm15 cmABC
Kolmnurga pindala on 2a⋅h. Täisnurkses kolmnurgas on kaatet AC kaatetile BC tõmmatud kõrgus, seega S=2AC⋅BC.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia hüpotenuus
Kirjutame Pythagorase teoreemi.
AB2=AC2+BC2
Asendame AC=8 ja BC=15.
AB2=82+152=64+225=289
Võtame ruutjuure.
AB=289=17 cm
8 cm15 cm17 cmABC
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta ümbermõõt
Liidame kolmnurga kõik küljed.
P=8+15+17=40 cm
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Tee joonis
Teises küsimuses tuleb kõigepealt teha joonis. Punkt D on kaatetil BC ja lõik AD jagab nurga BAC kaheks võrdseks osaks.
Nurgapoolitaja jagab nurga kaheks võrdseks nurgaks.
∠CAD=∠DAB=2∠BAC
8 cm15 cm17 cmABCD
Kolmnurga ADB pindala leidmiseks on vaja lõiku DB. Kolmnurga ADB kõrgus on AC, sest AC on sirgega BC risti. Seega piisab, kui leiame lõigu CD ja lahutame selle kaatetist BC.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia nurk BAC
Täisnurkses kolmnurgas ABC on nurga A vastaskaatet BC ja lähiskaatet AC, seega kasutame tangensit.
Kirjutame nurga BAC tangensi.
tan∠BAC=ACBC=815=1,875
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠BAC≈61,93∘
8 cm15 cm17 cm∠BAC≈61,93∘ABCD
Tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti jagatis. Taskuarvutil on see pöördfunktsioon tan−1: tan−11,875≈61,93∘.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia lõik CD
Poolitaja jagab nurga pooleks. Kolmnurk ACD on täisnurkne (täisnurk tipus C), seega saame lõigu CD tangensi abil.
Jagame nurga BAC kahega.
∠CAD=261,93∘≈30,96∘
Kolmnurgas ACD on nurga A vastaskaatet CD ja lähiskaatet AC.
tan∠CAD=ACCD
Avaldame CD ja asendame AC=8.
CD=8⋅tan30,96∘≈8⋅0,6=4,8 cm
8 cm17 cm30,96∘4,8 cmABCD
tan30,96∘≈0,600. Teine võimalus on nurgapoolitaja omadus: poolitaja jagab vastaskülje lõikudeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed, CD:DB=AC:AB=8:17. Siis CD=258⋅15=4,8 cm.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Arvuta kolmnurga ADB pindala
Kolmnurga ADB alus on DB ja sellele vastav kõrgus on AC, sest AC on sirgega BC risti.
Leiame lõigu DB, lahutades kaatetist BC lõigu CD.
DB=15−4,8=10,2 cm
Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
SADB=2DB⋅AC
Asendame DB=10,2 ja AC=8.
SADB=210,2⋅8=281,6=40,8 cm2
8 cm17 cm30,96∘4,8 cm10,2 cmS=40,8 cm2ABCD
Kontroll teisel viisil: kolmnurga ACD pindala on 28⋅4,8=19,2 cm² ja SADB=SABC−SACD=60−19,2=40,8 cm².
VASTUS
1) Kolmnurga ABC ümbermõõt on 40 cm. 2) Joonis on lahenduses; kolmnurga ADB pindala on 40,8 cm².