Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 11: Kontrolltööde hinded kahes klassis
Joonisel on esitatud 10.a ja 10.b klassi kontrolltööde tulemuste jaotuse diagrammid. Leht diagrammide kujutisega on saanud kahjustada (vt joonist).
1.Õpetaja jagab hinnatud kontrolltööd õpilastele juhuslikus järjekorras. Arvutage tõenäosus, et
1)10.a klassis saab töö esimesena kätte õpilane, kelle hinne on madalam klassi keskmisest hindest;
2)mõlemas klassis saab töö esimesena kätte õpilane, kelle hinne on kõrgem klassi keskmisest hindest.
2.Mitu 10.b klassi õpilast sai kontrolltöö eest hinde „4“ ja mitu õpilast hinde „5“?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 11
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 36,3% punktidest (Harno aruanne).
10.a klass
Ülesande joonis
10.a klass, 28 õpilast, keskmine hinne 3,7502468104Hinne 27Hinne 39Hinne 48Hinne 5
10.b klass
Ülesande joonis
10.b klass, 30 õpilast, keskmine hinne 3,90510153Hinne 26Hinne 3Hinne 4Hinne 5
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: aritmeetiline keskmine
x=nx1+x2+…+xn
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tõenäosus on soodsate võimaluste arv jagatud kõigi võimaluste arvuga. Kahe klassi sündmused on sõltumatud. Teises küsimuses koosta võrrandisüsteem õpilaste arvu ja keskmise hinde kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1.1Samm 1: Leia tõenäosus 10.a klassis
Esimeses küsimuses on 10.a klassi keskmine hinne 3,75. Sellest madalamad hinded on „2“ ja „3“. Iga õpilane võib saada töö esimesena kätte võrdse tõenäosusega.
Loeme diagrammilt soodsad võimalused ehk õpilased, kelle hinne on „2“ või „3“.
k=4+7=11
Kõigi võimaluste arv on klassi õpilaste arv.
n=28
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi ja asendame.
P1=nk=2811≈0,393
Hinne „4“ on juba suurem kui 3,75, seega madalamad on ainult hinded „2“ ja „3“. 11:28≈0,3929.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1.2Samm 2: Leia mõlema klassi soodsad võimalused
Teises osas on vaja kõrgemat hinnet kui klassi keskmine. 10.a klassis on keskmine 3,75 ja 10.b klassis 3,9, seega mõlemas klassis on keskmisest kõrgemad hinded „4“ ja „5“.
10.a klassis loeme hinde „4“ ja „5“ saanud õpilased diagrammilt.
9+8=17
10.b klassi diagramm on kahjustatud, aga hinde „2“ ja „3“ said 3+6=9 õpilast. Ülejäänud said hinde „4“ või „5“.
30−3−6=21
Kirjutame tõenäosused kummaski klassis.
P(A)=2817,P(B)=3021=107
10.a klass, 28 õpilast, keskmine hinne 3,7502468104Hinne 27Hinne 39Hinne 48Hinne 5
Kõiki 10.b klassi hindeid me ei tea, kuid hinnete „4“ ja „5“ saajate arvu kokku saab leida, sest klassis on 30 õpilast.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1.2Samm 3: Korruta tõenäosused
Klassides jagatakse töid teineteisest sõltumatult. Kahe sõltumatu sündmuse korraga toimumise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis.
Kirjutame sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosuse.
P2=P(A)⋅P(B)
Asendame ja taandame.
P2=2817⋅3021=28⋅3017⋅21=4⋅3017⋅3=4017=0,425
21 ja 28 jaguvad mõlemad arvuga 7: 2821=43. Seejärel 303=101, seega tulemus on 4017.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta võrrandisüsteem
Teises küsimuses tähistame: hinde „4“ sai x õpilast ja hinde „5“ sai y õpilast. Eelmisest küsimusest teame, et neid on kokku 21.
Esimene võrrand tuleb õpilaste arvust.
x+y=21
Teine võrrand tuleb keskmisest hindest. Keskmine on kõigi hinnete summa jagatud õpilaste arvuga.
302⋅3+3⋅6+4x+5y=3,9
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 30 ja arvutame teadaolevad korrutised.
24+4x+5y=117
Viime arvu 24 paremale poole.
4x+5y=93
Hinde „2“ sai 3 õpilast, seega annavad nad hinnete summasse 2⋅3=6; hinde „3“ saajad 3⋅6=18. 6+18=24 ja 30⋅3,9=117.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Lahenda võrrandisüsteem
Kirjutame süsteemi.
{x+y=214x+5y=93
Avaldame esimesest võrrandist x.
x=21−y
Asendame teise võrrandisse.
4(21−y)+5y=93
Avame sulud ja koondame.
84+y=93
Viime arvu 84 paremale poole.
y=9
Leiame x.
x=21−9=12
10.b klass, 30 õpilast, keskmine hinne 3,90510153Hinne 26Hinne 312Hinne 49Hinne 5
Kontroll: 12+9=21 ja hinnete summa 6+18+4⋅12+5⋅9=6+18+48+45=117, mis jagatud arvuga 30 annab keskmise 3,9.
VASTUS
1) Tõenäosus, et 10.a klassis saab töö esimesena kätte keskmisest madalama hindega õpilane, on 2811≈0,393. Tõenäosus, et mõlemas klassis saab töö esimesena kätte keskmisest kõrgema hindega õpilane, on 4017=0,425. 2) 10.b klassis sai hinde „4“ 12 õpilast ja hinde „5“ 9 õpilast.