Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 10: Vektor, ristuvad sirged ja kolmnurga pindala
Koordinaattasandil on antud punkt A(−4;3) ja vektor AB=(6;−2).
1.Leidke punkti B koordinaadid ning koostage sirge AB võrrand.
2.Sirge t on risti sirgega AB ja läbib punkti B. Koostage sirge t võrrand.
3.Sirge t lõikab y-telge punktis C. Leidke punkti C koordinaadid.
4.Joonestage antud koordinaatteljestikku kolmnurk ABC ja arvutage selle kolmnurga pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 10
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 28,5% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punkti B saad, kui liidad punkti A koordinaatidele vektori koordinaadid. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1. Kolmnurk ABC on täisnurkne.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkti B koordinaadid
Esimeses küsimuses tuleb leida punkt B. Vektori koordinaadid on lõpp- ja alguspunkti koordinaatide vahed, seega saame lõpp-punkti, kui liidame alguspunktile vektori koordinaadid.
Kirjutame vektori koordinaatide valemi.
AB=(xB−xA;yB−yA)
Avaldame punkti B koordinaadid ja asendame A(−4;3) ning AB=(6;−2).
B(−4+6;3+(−2))=B(2;1)
110xyA(−4;3)B(2;1)
xB−(−4)=6, seega xB=6−4=2, ja yB−3=−2, seega yB=1. Jooniselt saab sama tulemuse: punktist A liigume 6 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta sirge AB võrrand
Sirge AB tõusu saame vektori AB koordinaatidest.
Tõus on y-koordinaadi muut jagatud x-koordinaadi muuduga.
kAB=6−2=−31
Kirjutame sirge võrrandi punkti ja tõusu kaudu, kasutades punkti A(−4;3).
y−3=−31(x−(−4))
Avame sulud.
y−3=−31x−34
Viime arvu −3 paremale poole: −34+3=−34+39=35.
y=−31x+35
110xyABA(−4;3)B(2;1)
Kontroll punktiga B(2;1): −31⋅2+35=−32+35=1. Punkt B on sirgel.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Koosta sirge t võrrand
Teises küsimuses on sirge t risti sirgega AB. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
Kirjutame ristseisu tingimuse.
kAB⋅kt=−1
Asendame kAB=−31 ja avaldame kt.
kt=−1:(−31)=3
Kirjutame sirge võrrandi punkti B(2;1) ja tõusu kt=3 kaudu.
y−1=3(x−2)
Avame sulud.
y−1=3x−6
Viime arvu −1 paremale poole.
y=3x−5
110xyABtA(−4;3)B(2;1)
Jagamine murruga on korrutamine pöördarvuga: −1:(−31)=−1⋅(−3)=3. Kontroll: 3⋅2−5=1, seega punkt B on sirgel t.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia punkt C
Kolmandas küsimuses on punkt Cy-teljel, seega selle x-koordinaat on 0.
Asendame sirge t võrrandisse x=0.
y=3⋅0−5=−5
Kirjutame punkti koordinaadid.
C(0;−5)
110xyABtA(−4;3)B(2;1)C(0;−5)
Sirge võrrandis y=kx+b on vabaliige b just see koht, kus sirge lõikab y-telge.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Joonesta kolmnurk ja leia külgede pikkused
Neljandas küsimuses kanname punktid A, B ja C teljestikku ja ühendame need. Sirge t on risti sirgega AB, seega on kolmnurgal ABC tipus B täisnurk ja kaatetid on AB ning BC.
Leiame vektori BC koordinaadid.
BC=(0−2;−5−1)=(−2;−6)
Kirjutame vektori pikkuse valemi.
∣a∣=ax2+ay2
Arvutame kaateti AB pikkuse.
∣AB∣=62+(−2)2=36+4=40
Arvutame kaateti BC pikkuse.
∣BC∣=(−2)2+(−6)2=4+36=40
110xyABt4040A(−4;3)B(2;1)C(0;−5)
Täisnurka saab kontrollida ka skalaarkorrutisega: BA⋅BC=(−6)⋅(−2)+2⋅(−6)=12−12=0. Kolmnurk on ühtlasi võrdhaarne, sest mõlemad kaatetid on 40.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Arvuta kolmnurga pindala
Täisnurkses kolmnurgas on üks kaatet teisele kaatetile tõmmatud kõrgus.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi, kus alus ja kõrgus on kaatetid.
S=2AB⋅BC
Asendame kaatetite pikkused.
S=240⋅40=240=20
110xyABt4040S=20A(−4;3)B(2;1)C(0;−5)
40⋅40=40, seega ruutjuurt pole vaja ligikaudu arvutada.
VASTUS
1) Punkt B on B(2;1) ja sirge AB võrrand on y=−31x+35. 2) Sirge t võrrand on y=3x−5. 3) Punkt C on C(0;−5). 4) Kolmnurk ABC on joonisel ja selle pindala on 20 ruutühikut.