Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 1: Ruutjuurtega avaldise lihtsustamine
Lihtsustage avaldis (x−3x−x+33):(x+x9).
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 1
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 45,45% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Too kummaski sulus murrud ühisele nimetajale. Esimese sulu ühine nimetaja on summa ja vahe korrutis, selle jaoks on abivalem.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Too esimese sulu murrud ühisele nimetajale
Esimeses sulus on kaks murdu nimetajatega x−3 ja x+3. Nende ühine nimetaja on nimetajate korrutis.
Laiendame esimest murdu teguriga x+3 ja teist murdu teguriga x−3 ning kirjutame ühise murrujoone alla.
x−3x−x+33=(x−3)(x+3)x(x+3)−3(x−3)
Murde saab lahutada ainult siis, kui neil on sama nimetaja. Kui nimetajatel ühist tegurit pole, on ühine nimetaja nende korrutis. Teise murru lugeja 3 ees on miinus, seega jääb 3(x−3) ette miinusmärk.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lihtsusta lugeja ja nimetaja
Avame lugejas sulud. Arvestame, et x⋅x=x.
x(x+3)−3(x−3)=x+3x−3x+9=x+9
Nimetajas on summa ja vahe korrutis, kasutame ruutude vahe valemit.
(x−3)(x+3)=(x)2−32=x−9
Kirjutame esimese sulu lihtsustatud kujul.
x−3x−x+33=x−9x+9
Liikmed 3x ja −3x on vastandliikmed ja annavad kokku nulli. Miinus sulgude ees muudab sulgudes oleva −9 märgi: −3⋅(−3)=+9. Nimetajas kasutame valemit (a−b)(a+b)=a2−b2, kus a=x ja b=3.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lihtsusta teine sulg
Teises sulus on ruutjuur ja murd. Kirjutame x murruna, mille nimetaja on x.
Laiendame liiget x teguriga x ja liidame murrud.
x+x9=xx⋅x+9=xx+9
Arvu saab kirjutada murruna, mille lugeja ja nimetaja on sama arvuga korrutatud: x=xx⋅x=xx. Siis on mõlemal murrul nimetaja x.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Jaga murrud
Nüüd jagame esimese sulu tulemuse teise sulu tulemusega.
Kirjutame jagatise lihtsustatud sulgudega.
x−9x+9:xx+9
Murruga jagamine on pöördmurruga korrutamine.
x−9x+9:xx+9=x−9x+9⋅x+9x=(x−9)(x+9)(x+9)⋅x
Taandame ühise teguriga x+9.
(x−9)(x+9)(x+9)⋅x=x−9x
Jagamisel pööratakse jagaja murd ümber: ba:dc=ba⋅cd. Tegur x+9 on nii lugejas kui ka nimetajas, seega saab sellega taandada (x+9 ei ole kunagi null, sest x>0). Avaldis on määratud, kui x>0 (ruutjuur on nimetajas) ja x=9 (siis oleks x−3=0).