Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 2: Kommid kommipakis
Kommipakis on 50 kommi, neist 15 on sinised, 11 oranžid, 8 pruunid ja 9 kollased. Kõik ülejäänud kommid on rohelised.
1.Mitu protsenti pakis olevatest kommidest on rohelised?
2.Mari valib kommipakist juhuslikult kaks kommi. Arvutage tõenäosus, et mõlemad kommid on sinised.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 2
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 67,24% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Leia kõigepealt roheliste kommide arv. Teises küsimuses loe kokku, mitmel viisil saab valida kaks kommi kõigi kommide hulgast ja mitmel viisil ainult siniste hulgast.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia roheliste kommide arv
Esimeses küsimuses tuleb leida, mitu protsenti kommidest on rohelised. Selleks on vaja teada roheliste kommide arvu.
Liidame kokku teist värvi kommid.
15+11+8+9=43
Rohelised on ülejäänud kommid, seega lahutame selle arvu kõigi kommide arvust.
50−43=7
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta protsent
Kirjutame valemi, mitu protsenti on osa tervikust.
ba⋅100%
Osa on 7 rohelist kommi ja tervik 50 kommi.
507⋅100%=0,14⋅100%=14%
Protsendi leidmiseks jagame osa tervikuga ja korrutame 100%-ga. Siin 507=10014, seega on iga sajast kommist 14 rohelised.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia kõigi võimaluste arv
Teises küsimuses valib Mari kaks kommi. Valiku järjekord pole oluline, seega loendame võimalusi kombinatsioonidega. Kõigepealt leiame, mitmel viisil saab valida 2 kommi 50 kommi hulgast.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=50 ja k=2. Taandame 48!-ga.
C502=2!⋅48!50!=250⋅49=1225
50!=50⋅49⋅48!, seega jääb pärast taandamist lugejasse ainult 50⋅49=2450 ja nimetajasse 2!=2.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia soodsate võimaluste arv
Soodne on valik, kus mõlemad kommid on sinised. Siniseid komme on 15.
Valime 2 kommi 15 sinise kommi hulgast.
C152=2!⋅13!15!=215⋅14=105
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta tõenäosus
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Soodsaid võimalusi on 105 ja kõiki 1225. Taandame murru arvuga 35.
P=1225105=353
105=3⋅35 ja 1225=35⋅35. Sama tulemuse saab ka korrutamislausega: esimene komm on sinine tõenäosusega 5015, siis on pakis 49 kommi, neist 14 sinist, seega P=5015⋅4914=103⋅72=353≈0,086.
VASTUS
1) Rohelised on 14% pakis olevatest kommidest. 2) Tõenäosus, et mõlemad valitud kommid on sinised, on 353.