Kitsas riigieksam 2026, ülesanne 10: Uus teelõik AM
Punktist A punkti B jõudmiseks tuleb kõigepealt sõita mööda kruusateed kuni punktini C ja seejärel liikuda mööda maanteed punkti B. Järgmisel aastal valmib uus teelõik, mis ühendab maanteel asuva punkti M punktiga A (vt joonist).
Arvutage
1)ehitatava teelõigu AM pikkus, kui CM=5,2 km ja AC=4 km ning nurk maantee ja kruusatee vahel on 120°;
2)ehitatava teelõigu ja maantee vaheline nurk CMA;
3)teelõigu BM pikkus, kui on teada, et teekond punktist A punkti B väheneb pärast uue teelõigu valmimist 10% võrra;
4)lõigu CM pikkus kaardil, mille mõõtkava on 1 : 40 000, leitud pikkus kaardil esitage sentimeetrites.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 10
Ülesande joonis
ACMB
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmnurgas ACM on teada kaks külge ja nendevaheline nurk: kasuta koosinusteoreemi, seejärel siinusteoreemi. Kolmandas osas võrdle vana teekonda A→C→M→B uuega A→M→B.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia AM koosinusteoreemiga
Esimeses küsimuses on kolmnurgas ACM teada kaks külge AC=4 km ja CM=5,2 km ning nendevaheline nurk ∠ACM=120∘. Kolmas külg AM asub nurga C vastas.
Kirjutame koosinusteoreemi külje AM jaoks.
AM2=AC2+CM2−2⋅AC⋅CM⋅cos120∘
Asendame andmed. Valemilehe järgi cos120∘=−cos60∘=−0,5.
AM2=42+5,22−2⋅4⋅5,2⋅(−0,5)=16+27,04+20,8=63,84
Võtame ruutjuure.
AM=63,84≈7,99 km≈8,0 km
4 km5,2 km≈7,99 km120∘ACMB
Nürinurga koosinus on negatiivne, seega muutub viimane liige plussiks. Taskuarvuti annab otse cos120∘=−0,5. Edasi arvutame täpsema väärtusega 7,99, sest kolmandas küsimuses mõjutab ümardamine tulemust palju.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia nurk CMA siinusteoreemiga
Teises küsimuses on vaja nurka CMA. See asub külje AC vastas ja nurk 120∘ asub külje AM vastas.
Kirjutame siinusteoreemi nende kahe külje ja nurga jaoks.
sin120∘AM=sin∠CMAAC
Avaldame otsitava nurga siinuse ja asendame andmed.
sin∠CMA=AMAC⋅sin120∘≈7,994⋅0,8660≈0,4336
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠CMA≈25,7∘
4 km5,2 km≈7,99 km120∘∠CMA≈25,7∘ACMB
Siinuse järgi leitud nurk võiks olla ka nürinurk 180∘−25,7∘, aga kolmnurgas on juba 120∘ nurk, seega saab nurk CMA olla ainult teravnurk.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3Samm 3: Koosta võrrand teekondade kohta
Kolmandas küsimuses tähistame BM=x. Vana teekond on A→C→M→B, uus teekond A→M→B. Uus teekond on 10% lühem ehk moodustab 90% vanast.
Kirjutame vana teekonna pikkuse.
AC+CM+BM=4+5,2+x=9,2+x
Kirjutame uue teekonna pikkuse.
AM+BM≈7,99+x
Uus teekond on 0,9 korda vana teekond.
7,99+x=0,9(9,2+x)
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Lahenda võrrand
Avame sulud.
7,99+x=8,28+0,9x
x-iga liikmed viime vasakule ja arvud paremale poole.
x−0,9x=8,28−7,99
Koondame.
0,1x=0,29
Jagame mõlemaid pooli arvuga 0,1.
x=2,9 km
4 km5,2 km≈2,9 km≈7,99 km120∘ACMB
Tulemus on väga tundlik AM ümardamise suhtes, sest x=82,8−10⋅AM. Kui kasutada ümardatud AM=8,0, tuleb 0,1x=0,28 ja BM=2,8 km (nii on hindamisjuhendis). Täpsem väärtus on BM≈2,90 km.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Leia CM pikkus kaardil
Neljandas küsimuses on mõõtkava 1:40000: üks sentimeeter kaardil vastab 40000 sentimeetrile looduses.
Teisendame lõigu CM pikkuse sentimeetritesse. Ühes kilomeetris on 100000 cm.
5,2 km=5,2⋅100000 cm=520000 cm
Jagame tegeliku pikkuse mõõtkava arvuga.
520000:40000=13 cm
4 km5,2 km≈2,9 km≈7,99 km120∘kaardil 13 cmACMB
1 km=1000 m=100000 cm. Kaardil on kõik pikkused 40000 korda väiksemad kui looduses.
VASTUS
1) Teelõigu AM pikkus on umbes 8,0 km (≈7,99 km). 2) Teelõigu ja maantee vaheline nurk CMA on umbes 25,7∘. 3) Teelõigu BM pikkus on umbes 2,9 km. 4) Lõigu CM pikkus kaardil on 13 cm.