Kitsas riigieksam 2026, ülesanne 3: Ruutjuurtega avaldiste jagatis
Lihtsustage avaldis A:B, kui A=a−164a−a−42 ja B=8a+32a4.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 3
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta a−16 ruutude vahena, sest a=(a)2 ja 16=42. Avaldise B nimetajas too sulgude ette 8a.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tegurda esimese murru nimetaja
Avaldises A on kaks murdu. Nende ühise nimetaja leidmiseks kirjutame a−16 ruutude vahena, sest a=(a)2 ja 16=42.
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on a ja teine liige 4.
a−16=(a)2−42=(a+4)(a−4)
Ruutude vahe valem a2−b2=(a−b)(a+b) kehtib ka siis, kui liikmed on ruutjuured. Nüüd on näha, et teise murru nimetaja a−4 on esimese murru nimetaja üks tegur.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lihtsusta avaldis A
Ühine nimetaja on (a+4)(a−4). Teist murdu tuleb laiendada teguriga a+4.
Laiendame teist murdu ja kirjutame mõlemad murrud ühise nimetaja peale.
Toome lugejas teguri 2 sulgude ette ja taandame murru teguriga a−4.
A=(a+4)(a−4)2(a−4)=a+42
Lahutamisel käib miinusmärk kogu teise murru lugeja kohta, seepärast on 2(a+4) sulgudes ja sulge avades saame −2a−8. Lugeja 2a−8=2(a−4) sisaldab sama tegurit mis nimetaja, seega saab murru taandada.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lihtsusta avaldis B
Avaldise B nimetajas on mõlemas liikmes tegur 8a, sest 8a=8a⋅a.
Toome nimetajas 8a sulgude ette.
B=8a+32a4=8a(a+4)4
Taandame murru arvuga 4.
B=2a(a+4)1
Kontrolliks võib sulud avada: 8a⋅a=8a ja 8a⋅4=32a. Tegur a+4 on sama mis avaldises A, see aitab jagamisel.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Jaga avaldised
Murruga jagamine on sama mis korrutamine selle pöördarvuga.
Asendame lihtsustatud avaldised ja korrutame A murru B pöördarvuga.
A:B=a+42:2a(a+4)1=a+42⋅12a(a+4)
Taandame teguri a+4 ja korrutame.
A:B=a+42⋅2a(a+4)=4a
Avaldised on määratud, kui a>0 (ruutjuur ja nimetaja 8a+32a=0) ning a=16 (siis oleks a−4=0). Nende a väärtuste korral on a+4>0 ja selle võib taandada.