1.Kahe tööpingiga saab valmistada päevas kokku 2025 detaili. Leidke, mitu detaili saab valmistada päevas kummagi tööpingiga eraldi, kui esimesel tööpingil saab kahe päevaga valmistada sama palju detaile kui teisel tööpingil kolme päevaga. Kirjalik kontroll ei ole kohustuslik.
2.Tõenäosus, et tööpingil tekib päeva jooksul tehniline rike, on esimese tööpingi puhul 0,03 ja teise tööpingi puhul 0,02. Arvutage tõenäosus, et ühe päeva jooksul
1)ei taba kumbagi tööpinki tehniline rike;
2)tabab tehniline rike ainult üht tööpinki.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 8
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista kummagi tööpingi päevane toodang tähega ja koosta kaks võrrandit. Tõenäosuste puhul on tööpingid teineteisest sõltumatud: sõltumatute sündmuste koos toimumise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta võrrandisüsteem
Esimeses küsimuses tähistame: esimene tööpink valmistab päevas x detaili ja teine y detaili. Tekstist saame kaks tingimust.
Kahe tööpingiga kokku valmib päevas 2025 detaili. Kahe päevaga teeb esimene 2x ja kolme päevaga teine 3y detaili, need on võrdsed.
{x+y=20252x=3y
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Lahenda süsteem
Avaldame teisest võrrandist x, jagades mõlemaid pooli arvuga 2.
x=1,5y
Asendame selle esimesse võrrandisse.
1,5y+y=2025
Koondame vasakul pool.
2,5y=2025
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2,5.
y=2025:2,5=810
Leiame x.
x=1,5⋅810=1215
Kontroll: 1215+810=2025 ja 2⋅1215=2430=3⋅810. Mõlemad tingimused on täidetud.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia vastandsündmuste tõenäosused
Teises küsimuses on tõenäosused. Kui rike tekib tõenäosusega 0,03, siis rikke tekkimata jäämise tõenäosus on 1−0,03. Eeldame, et tööpingid töötavad teineteisest sõltumatult.
Leiame tõenäosuse, et esimest tööpinki ei taba rike.
1−0,03=0,97
Leiame tõenäosuse, et teist tööpinki ei taba rike.
1−0,02=0,98
Sündmus „rike ei teki“ on sündmuse „rike tekib“ vastandsündmus. Vastandsündmuste tõenäosuste summa on 1.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.1Samm 4: Arvuta, et rike ei taba kumbagi
Sündmus A toimub, kui esimest tööpinki ei taba rike ja teist tööpinki ei taba rike.
Sõltumatute sündmuste koos toimumise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis.
P(A)=0,97⋅0,98=0,9506
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.2Samm 5: Arvuta, et rike tabab ainult üht
Sündmus B toimub kahel välistaval viisil: rike tabab esimest, aga mitte teist tööpinki, või rike ei taba esimest, aga tabab teist tööpinki.
Esimese viisi tõenäosus on korrutis.
0,03⋅0,98=0,0294
Teise viisi tõenäosus on samuti korrutis.
0,97⋅0,02=0,0194
Välistavate juhtude tõenäosused liidame.
P(B)=0,0294+0,0194=0,0488
Kontroll: kõik võimalused on „kumbagi ei taba“ (0,9506), „ainult üht tabab“ ja „mõlemat tabab“ (0,03⋅0,02=0,0006). Nende summa peab olema 1: 1−0,9506−0,0006=0,0488.
VASTUS
1) Esimese tööpingiga saab päevas valmistada 1215 detaili ja teisega 810 detaili. 2) Tõenäosus, et kumbagi tööpinki ei taba päeva jooksul tehniline rike, on 0,9506, ja tõenäosus, et rike tabab ainult üht tööpinki, on 0,0488.