Kitsas riigieksam 2026, ülesanne 7: Klaasist prisma ja karp
Auhinnaks võistluse võitjale telliti kunstnikult kolmnurkse püstprisma kujuline meene, mis valati klaasist. Prisma põhiservad on 8,6 cm, 7,6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 40 cm.
1.Arvutage, kui palju kaalub see klaasist meene, kui 1 cm3 klaasi kaalub 2,5 g.
2.Klaasmeene tuleb pakkida karpi. Kas see meene mahub risttahukakujulisse karpi, mille mõõtmed on 420 mm × 90 mm × 68 mm? Põhjendage oma vastust.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 7
Ülesande joonis
8,6 cm7,6 cm8 cm40 cmABC
Lohista, et pöörata
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Valemikaart: püstprisma
V=Sp⋅h
St=2Sp+Sk
Sk=P⋅h,P on po˜hja u¨mbermo˜o˜t
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Prisma ruumala on põhja pindala korda kõrgus. Põhja pindala jaoks leia koosinusteoreemiga üks nurk. Karbi puhul mõtle, kas kolmnurkne põhi mahub karbi otsatahule.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia põhja nurk koosinusteoreemiga
Esimeses küsimuses on vaja meene massi, selleks ruumala ja selleks põhja pindala. Põhi on kolmnurk, mille kõik küljed on teada. Leiame kõigepealt külgede 8 cm ja 7,6 cm vahelise nurga γ, mis asub külje 8,6 cm vastas.
Kirjutame koosinusteoreemi.
c2=a2+b2−2abcosγ
Asendame c=8,6, a=8 ja b=7,6.
8,62=82+7,62−2⋅8⋅7,6⋅cosγ
Arvutame ruudud ja korrutise.
73,96=121,76−121,6cosγ
Viime liikme 121,6cosγ vasakule ja arvu 73,96 paremale poole.
121,6cosγ=121,76−73,96=47,8
Jagame mõlemaid pooli arvuga 121,6.
cosγ=121,647,8≈0,3931
Leiame nurga taskuarvutiga.
γ≈66,85∘
8,6 cm7,6 cm8 cm40 cmγABC
Lohista, et pöörata
Pindala valem S=21absinγ vajab kahte külge ja nendevahelist nurka. Koosinusteoreem annab selle nurga, kui kõik kolm külge on teada. Nurk γ on alati külje c vastas.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta põhja pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
Sp=21absinγ
Asendame a=8, b=7,6 ja γ≈66,85∘.
Sp≈21⋅8⋅7,6⋅sin66,85∘≈30,4⋅0,9195≈27,95 cm2
8,6 cm7,6 cm8 cm40 cmγSp≈27,95cm2ABC
Lohista, et pöörata
Sama tulemuse annab Heroni valem: poolümbermõõt on p=12,1 ja S=12,1⋅3,5⋅4,5⋅4,1≈27,95. Hindamisjuhend ümardab pindala kujule 28,0cm2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta prisma ruumala
Kirjutame püstprisma ruumala valemi.
V=Sp⋅h
Asendame Sp≈27,95 ja h=40.
V≈27,95⋅40≈1118 cm3
Arvutasin ruumala täpsema pindalaga (27,9528⋅40≈1118,1). Kui kasutada ümardatud pindala 28,0, tuleb V≈1120cm3 (nii on hindamisjuhendis).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Arvuta meene mass
Iga kuupsentimeeter klaasi kaalub 2,5 g.
Korrutame ruumala ühe kuupsentimeetri massiga.
m≈1118⋅2,5=2795 g≈2,8 kg
Hindamisjuhendis on ümardatud ruumalast 1120⋅2,5=2800 g. Mõlemad on umbes 2,8 kg.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Võrdle mõõtmeid karbiga
Teises küsimuses tuleb otsustada, kas meene mahub karpi. Paneme prisma karpi külili: prisma kõrgus piki karbi pikkust ja põhja külg 8,6 cm karbi põhjale.
Teisendame karbi mõõtmed sentimeetritesse.
420 mm×90 mm×68 mm=42 cm×9 cm×6,8 cm
Prisma kõrgus mahub karbi pikkusesse.
40 cm<42 cm
Põhja pikim külg mahub karbi laiusesse.
8,6 cm<9 cm
Jääb kontrollida, kas põhja kõrgus küljele 8,6 cm on väiksem kui karbi kõrgus.
hp<?6,8 cm
8,6 cm7,6 cm8 cm40 cmγ42 cm6,8 cmABC
Lohista, et pöörata
Kolmnurga suurim nurk γ≈66,85∘ on terav, seega on kõik nurgad teravad ja kõrguse aluspunkt jääb küljele 8,6 cm. Siis on kolmnurga laius täpselt 8,6 cm ja kõrgus on külje 8,6 kohal olev kõrgus.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Arvuta põhja kõrgus ja tee järeldus
Kolmnurga pindala on pool alusest korda kõrgus, kus alus on 8,6 cm.
Sp=28,6⋅hp
Avaldame kõrguse ja asendame Sp≈27,95.
hp=8,62Sp≈8,62⋅27,95≈6,5 cm
Võrdleme karbi kõrgusega.
6,5 cm<6,8 cm
Kõik kolm mõõdet mahuvad, seega mahub meene karpi.
meene mahub karpi
8,6 cm7,6 cm8 cm40 cmγ42 cm6,8 cmhpABC
Lohista, et pöörata
Täpsemalt on hp≈6,50 cm, seega jääb karbi kõrgusest üle umbes 3 mm. Kõrguse võib leida ka täisnurksest kolmnurgast: hp=8⋅sin54,35∘≈6,50 cm, kus 54,35∘ on nurk tipu A juures.
VASTUS
1) Klaasmeene kaalub umbes 2795 g ehk umbes 2,8 kg. 2) Meene mahub karpi: prisma pikkus 40 cm on väiksem kui 42 cm, põhja külg 8,6 cm on väiksem kui 9 cm ja põhja kõrgus 6,5 cm on väiksem kui 6,8 cm.