Rajatava ristkülikukujulise liuvälja laius peab olema pikkusest 15 m võrra lühem. Liuvälja ümbermõõt peab olema väiksem kui 120 m ja selle pindala peab olema vähemalt 700 m². Arvutage selle liuvälja pikkuse võimalikud täisarvulised väärtused.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 5
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Märgiskeem
Täitub sammus 4.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista pikkus x-iga ja kirjuta iga tingimus võrratusena. Pikkus peab rahuldama kõiki võrratusi korraga.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tähista pikkus ja laius
Tähistame liuvälja pikkuse tähega x (meetrites). Laius on pikkusest 15 m võrra lühem.
Kirjutame pikkuse ja laiuse.
a=x,b=x−15
Laius peab olema positiivne.
x−15>0⇒x>15
Külje pikkus on alati positiivne arv, seega peab pikkus olema suurem kui 15 m.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Kirjuta ümbermõõdu tingimus
Ristküliku ümbermõõt on kahekordne külgede summa.
P=2(a+b)=2(x+x−15)=2(2x−15)=4x−30
Ümbermõõt peab olema väiksem kui 120 m.
4x−30<120
Viime arvu 30 paremale poole.
4x<150
Jagame mõlemaid pooli arvuga 4.
x<37,5
Positiivse arvuga jagamisel võrratuse märk ei muutu.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Kirjuta pindala tingimus
Kirjutame ristküliku pindala valemi.
S=ab
Asendame pikkuse ja laiuse. Pindala peab olema vähemalt 700 m², seega märk on ≥.
x(x−15)≥700
Avame sulud ja viime kõik liikmed vasakule poole.
x2−15x−700≥0
„Vähemalt 700“ tähendab, et pindala võib olla ka täpselt 700 m², seepärast on võrratus mitterange.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia ruutfunktsiooni nullkohad
Ruutvõrratuse lahendamiseks leiame kõigepealt vastava ruutvõrrandi lahendid.
Kirjutame ruutvõrrandi.
x2−15x−700=0
Kirjutame lahendivalemi, kus a=1, b=−15 ja c=−700.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=215±225+2800=215±3025=215±55
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=215−55=−20,x2=215+55=35
−4⋅1⋅(−700)=2800 ja 3025=55, sest 552=3025.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Lahenda ruutvõrratus
Parabool y=x2−15x−700 avaneb üles, seega on see mittenegatiivne väljaspool nullkohti.
x≤−20vo˜ix≥35
Pikkus on positiivne, seega jääb alles ainult x≥35.
x≥35
Ruutliikme kordaja on positiivne, seega on märgid nullkohtade vahel − ja väljaspool +. Lahend x≤−20 ei sobi, sest pikkus ei saa olla negatiivne.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Leia tingimuste ühisosa
Pikkus peab rahuldama kõiki kolme tingimust korraga.
Kirjutame tingimused võrratusesüsteemina.
⎩⎨⎧x>15x<37,5x≥35
Ühisosa on arvud, mis on vähemalt 35 ja väiksemad kui 37,5.
35≤x<37,5
x>1515x<37,537,5x≥3535L3537,515
Tingimus x≥35 on rangem kui x>15, seega piisab, kui arvestame tingimusi x≥35 ja x<37,5.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Vali täisarvud
Vahemikku 35≤x<37,5 jäävad täisarvud 35, 36 ja 37.
x∈{35;36;37}
Kontrollime äärmist väärtust x=37: ümbermõõt on väiksem kui 120 m.
P=4⋅37−30=118<120
Kontrollime väärtust x=35: pindala on vähemalt 700 m².
S=35⋅20=700≥700
x>1515x<37,537,5x≥3535L3537,5363715
Pikkus 38 m ei sobi, sest siis oleks ümbermõõt 4⋅38−30=122 m. Pikkus 34 m ei sobi, sest siis oleks pindala 34⋅19=646 m².