Lai riigieksam 2015, ülesanne 7: Kas Maril oli õigus?
Õpilane Mari joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil kolmnurga ABC. Kolmnurga külg BC oli pikkusega 10 cm ja selle külje lähisnurgad olid ∠ACB=25∘ ja ∠ABC=50∘.Mari joonestas küljele BC kõrguse AD, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD.Kuna nurk ABD oli 2 korda suurem kui nurk ACD, siis arvas Mari, et ka kolmnurga ACD pindala on 2 korda suurem kui kolmnurga ABD pindala.Arvutage kolmnurkade ACD ja ABD pindalad ning otsustage, kas Maril oli õigus.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 7
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmnurkadel ABD ja ACD on ühine kõrgus AD. Leia kõigepealt siinusteoreemiga külg AB ja siis täisnurksest kolmnurgast ABD lõigud AD ja BD.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia nurk A
Pindalade jaoks on vaja kõrgust AD ja lõike BD ning CD. Alustame kolmnurgast ABC, kus on teada üks külg ja kaks nurka. Leiame kolmanda nurga.
Kolmnurga sisenurkade summa on 180∘.
∠BAC=180∘−50∘−25∘=105∘
50∘25∘105∘BC=10 cmABCD
Kuna nurgad B ja C on mõlemad teravnurgad, langeb kõrguse alguspunkt D külje BC peale, punktide B ja C vahele.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia külg AB siinusteoreemiga
Kirjutame siinusteoreemi. Külje AB vastas on nurk C ja külje BC vastas nurk A.
sinCAB=sinABC
Avaldame AB ja asendame BC=10, C=25∘, A=105∘.
AB=sinABC⋅sinC=sin105∘10⋅sin25∘
Arvutame.
AB≈0,965910⋅0,4226≈4,3753 cm
50∘25∘105∘≈4,38 cmBC=10 cmABCD
Siinusteoreemis on iga külg jagatud selle vastasnurga siinusega. Vahetulemusi hoiame nelja kümnendkohaga, et lõpus oleks pindalade teine kümnendkoht õige.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia kõrgus AD ja lõik BD
Kolmnurk ABD on täisnurkne, täisnurk on tipus D. Selle hüpotenuus on AB ja teravnurk B=50∘.
Kaatet AD on nurga B vastaskaatet, seega kasutame siinust.
AD=AB⋅sin50∘≈4,3753⋅0,7660≈3,3517 cm
Kaatet BD on nurga B lähiskaatet, seega kasutame koosinust.
BD=AB⋅cos50∘≈4,3753⋅0,6428≈2,8124 cm
≈3,35 cm50∘25∘105∘≈4,38 cmBC=10 cm≈2,81ABCD
Seosest sinα=ca saame a=c⋅sinα ja seosest cosα=cb saame b=c⋅cosα. Arvutasime täpsemate siinuse ja koosinuse väärtustega; ligikaudsed tegurid on reas näitena.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia lõik CD
Punkt D on lõigul BC, seega CD on külje BC ja lõigu BD vahe.
Täisnurkse kolmnurga pindala on kaatetite korrutise pool. Mõlema kolmnurga kaatetid on AD ja vastavalt BD või CD.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Võrdle pindalasid
Leiame, mitu korda on kolmnurga ACD pindala suurem kolmnurga ABD pindalast.
SABDSACD≈4,7112,05≈2,56
Suhe ei ole 2, seega Maril ei olnud õigus.
2,56=2
Ühise kõrgusega kolmnurkade pindalade suhe on aluste suhe: SABDSACD=BDCD=tan25∘tan50∘≈2,56. Pindala ei ole võrdeline nurgaga, sest lõikude pikkused sõltuvad nurga tangensist, mitte nurgast endast.
VASTUS
Kolmnurga ACD pindala on ligikaudu 12,05cm2 ja kolmnurga ABD pindala ligikaudu 4,71cm2. Kolmnurga ACD pindala on umbes 2,56 korda suurem, mitte 2 korda, seega Maril ei olnud õigus.