Lai riigieksam 2017, ülesanne 7: Lennuteed Tallinnast Sofiasse

Esimeses küsimuses vaatame kolmnurka Tallinn-Kiiev-Sofia ($TKS$). Teame külgi $TS = 1860$ km ja $TK = 1060$ km ning nurka $K = 126{,}9^\circ$, mis on külje $TS$ vastas. Külje $TK$ vastas on nurk $S$, mille leiame siinusteoreemiga.

Kirjutame siinusteoreemi külgede $TK$ ja $TS$ jaoks.

Avaldame $\sin S$ ja asendame teadaolevad suurused.

Leiame nurga kalkulaatoriga.

Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Külg $KS$ on nurga $T$ vastas. Kasutame uuesti siinusteoreemi.

Kirjutame siinusteoreemi külgede $KS$ ja $TS$ jaoks.

Avaldame $KS$ ja asendame.

Ümardame $10$ km täpsusega.

Teises küsimuses on vaja Müncheni ja Kiievi vahemaad $MK$. Kolmnurgas $TMK$ teame külgi $TM = 1520$ km ja $TK = 1060$ km, puudu on nendevaheline nurk $MTK$. Selle esimese osa $MTS$ leiame kolmnurgast Tallinn-München-Sofia, kus on teada kõik kolm külge.

Kirjutame koosinusteoreemi nurga $T$ vastas oleva külje $MS$ jaoks.

Avaldame koosinuse.

Asendame külgede pikkused.

Leiame nurga kalkulaatoriga.

München ja Kiiev asuvad eri pool lõiku Tallinn-Sofia, seega nurk $MTK$ koosneb nurkadest $MTS$ ja $STK$.

Liidame teises küsimuses leitud nurga ja esimeses küsimuses leitud nurga $T$.

Kolmnurgas $TMK$ on nüüd teada kaks külge ja nendevaheline nurk.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $MK$ jaoks.

Asendame $TM = 1520$, $TK = 1060$ ja $MTK \approx 62{,}24^\circ$.

Arvutame liikmed eraldi, $\cos 62{,}24^\circ \approx 0{,}46577$.

Võtame ruutjuure ja ümardame $10$ km täpsusega.