Lai riigieksam 2017, ülesanne 8: Romb diagonaali ja vektori abil
Rombi ABCDdiagonaal AC asub sirgel y=2x−6. Rombi tipp A asub y-teljel ja AB=(7;4).
1.Koostage sirge võrrand, millel asub rombi teine diagonaal BD.
2.Arvutage rombi ABCD kõrgus ja pindala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2017, ülesanne 8
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tipp A on sirge y=2x−6 ja y-telje lõikepunkt. Rombi diagonaalid on risti ja poolitavad teineteist. Rombi pindala on pool diagonaalide korrutisest, kõrguse saad pindala ja külje kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia tipp A
Esimeses küsimuses on vaja diagonaali BD sirget. Selleks leiame kõigepealt tipud A ja B. Tipp A asub nii y-teljel kui ka sirgel y=2x−6.
y-telje punktide x-koordinaat on 0. Asendame x=0 sirge võrrandisse.
y=2⋅0−6=−6
Kirjutame tipu koordinaadid.
A(0;−6)
110xyy=2x−6A(0;−6)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia tipp B
Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahed.
AB=(xB−xA;yB−yA)
Seega saame tipu B, kui liidame punkti A koordinaatidele vektori AB=(7;4) koordinaadid.
xB=0+7=7,yB=−6+4=−2
Kirjutame tipu koordinaadid.
B(7;−2)
110xyy=2x−6A(0;−6)AB=(7;4)B(7;−2)
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia diagonaali BD tõus
Rombi diagonaalid on teineteisega risti. Diagonaali AC sirge y=2x−6 tõus on kAC=2. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
Kirjutame ristuvuse tingimuse.
kAC⋅kBD=−1
Asendame kAC=2 ja jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
2⋅kBD=−1⇒kBD=−21
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Koosta diagonaali BD sirge võrrand
Diagonaal BD läbib tippu B(7;−2) ja selle tõus on −21.
Kirjutame punkti ja tõusuga määratud sirge võrrandi.
y−y1=k(x−x1)
Asendame B(7;−2) ja k=−21.
y−(−2)=−21(x−7)
Avame sulud.
y+2=−0,5x+3,5
Viime arvu 2 paremale poole.
y=−0,5x+3,5−2=−0,5x+1,5
110xyy=2x−6A(0;−6)AB=(7;4)B(7;−2)y=−0,5x+1,5
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia diagonaalide lõikepunkt
Teises küsimuses on vaja rombi kõiki tippe. Diagonaalid lõikuvad punktis O, mis asub mõlemal sirgel. Võrdsustame sirgete võrrandite paremad pooled.
Kirjutame võrrandi.
2x−6=−0,5x+1,5
Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale.
2,5x=7,5
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2,5.
x=3
Leiame y sirge AC võrrandist.
y=2⋅3−6=0⇒O(3;0)
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia tipud C ja D
Rombi diagonaalid poolitavad teineteist, seega on O nii lõigu AC kui ka lõigu BD keskpunkt. Keskpunkti valemist saame, et xC=2xO−xA ja yC=2yO−yA.