Lai riigieksam 2019, ülesanne 1: Juuri sisaldava avaldise lihtsustamine
Lihtsustage avaldis aa−4a:(aa+4−4), kus a>0.
Kas leidub arvu a selline väärtus, mille korral on antud avaldise väärtus 0? Põhjendage oma vastust.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2019, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: astmed ja juured
am⋅an=am+n,am:an=am−n
(am)n=amn,(ab)n=anbn
a0=1,a−n=an1
anm=nam
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kuna a>0, saab kirjutada a=(a)2. Siis on jagatava lugejas ja jagaja sulgudes a ruutavaldised, mida saab tegurdada.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Lihtsusta ruutjuur
Esimese küsimusega tegeleme kolmes sammus. Kõigepealt lihtsustame jagatava lugejas oleva ruutjuure 4a.
Korrutise ruutjuur on tegurite ruutjuurte korrutis ja 4=2.
4a=4⋅a=2a
Ruutjuure saab tegurite kaupa võtta, kui tegurid pole negatiivsed: 4a=4⋅a. Siin a>0, seega see on lubatud.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lihtsusta jagatav
Kirjutame a kujul a⋅a. Siis on lugejas ja nimetajas ühine tegur a.
Asendame 4a eelmise sammu tulemusega.
aa−4a=aa−2a
Kirjutame a=a⋅a ja toome lugejas a sulgude ette.
aa−2a=a⋅aa(a−2)
Taandame murdu teguriga a.
a⋅aa(a−2)=aa−2
Kui a>0, siis (a)2=a. Nii on lugejas ja nimetajas sama tegur a, mis ei ole null, ja murdu saab sellega taandada.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lihtsusta jagaja
Sulgudes on murd ja arv. Viime need ühisele nimetajale a.
Laiendame arvu 4 nimetajaga a ja lahutame murrud.
aa+4−4=aa+4−a4a=aa−4a+4
Lugeja on vahe ruut, kus esimene liige on a ja teine liige 2.
aa−4a+4=a(a)2−2⋅a⋅2+22=a(a−2)2
Vahe ruudu valem (a−b)2=a2−2ab+b2 kehtib ka siis, kui esimene liige on a: (a−2)2=a−4a+4. Liikmed tuleb enne valemiga võrdlemist järjestada nii, et keskmine liige −4a on keskel.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Jaga murrud
Murruga jagamine on sama mis korrutamine selle pöördarvuga.
Kirjutame avaldise lihtsustatud jagatava ja jagajaga.
Taandada võib ainult nullist erineva teguriga. Tegur a−2 on null, kui a=4. Siis on aga ka jagaja null ja algne avaldis ei ole määratud. Seega lihtsustatud kuju kehtib, kui a>0 ja a=4.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Uuri, kas avaldis võib olla null
Teises küsimuses tuleb otsustada, kas avaldise väärtus saab olla 0. Kasutame lihtsustatud kuju.
Proovime lahendada võrrandi, kus lihtsustatud avaldis on null.
a−21=0
Murd on null ainult siis, kui tema lugeja on null. Lugeja on aga 1.
1=0
Murd qp on null parajasti siis, kui p=0 ja q=0. Siin on lugeja alati 1, seega murd ei saa ühegi a korral olla null. Võrrandil pole lahendit.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on a−21 (kus a>0 ja a=4). Sellist arvu a ei leidu, sest murru lugeja on 1 ja murd saab olla null ainult siis, kui tema lugeja on null.