Lai riigieksam 2019, ülesanne 5: Võrratusesüsteem

Alustame esimesest võrratusest. Avame sulud ja viime kõik liikmed vasakule poole.

Korrutame sulud: iga liige esimesest sulust korrutatakse iga liikmega teisest sulust.

Kirjutame võrratuse uuesti avatud sulgudega.

Viime $x$ ja $2$ vasakule poole ning koondame.

Lahendame vastava ruutvõrrandi $3x^2 - 11x + 6 = 0$, kus $a = 3$, $b = -11$ ja $c = 6$.

Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.

Asendame kordajad.

Arvutame mõlemad lahendid.

Ruutliikme kordaja $3$ on positiivne, seega parabool avaneb üles. Avaldis on null või negatiivne nullkohtade vahel, nullkohad kaasa arvatud.

Märk on $\le$, seega nullkohad kuuluvad lahendisse.

Teises võrratuses on tundmatu nimetajas. Nimetaja $x - 2$ võib olla positiivne või negatiivne, seega sellega korrutada ei tohi. Viime kõik liikmed vasakule ja ühisele nimetajale.

Viime $x + 2$ vasakule poole.

Laiendame $x + 2$ nimetajaga $x - 2$ ja kirjutame ühe murruna.

Korrutis $(x + 2)(x - 2)$ on ruutude vahe $x^2 - 4$.

Koondame lugejas sarnased liikmed.

Korrutame mõlemat poolt arvuga $-1$ (võrratuse märk pöördub) ja toome lugejas $x$ sulgude ette.

Lugeja on null kohtadel $x = 0$ ja $x = 3$, nimetaja kohal $x = 2$. Need punktid jaotavad arvtelje neljaks vahemikuks. Kõik punktid on lahtised: lugeja nullkohtades on murd null (aga vaja on $> 0$) ja kohal $x = 2$ murd ei ole määratud.

Kontrollime märki kõige parempoolsemas vahemikus, näiteks kohal $x = 4$.

Valime vahemikud, kus murd on positiivne.

Süsteemi lahend on see osa arvteljest, kus kehtivad mõlemad võrratused korraga.

Esimese võrratuse lahend.

Teise võrratuse lahend.

Mõlemad ribad katavad osa kahest kolmandikust kaheni. Arv $\frac{2}{3}$ kuulub mõlemasse lahendisse, arv $2$ ei kuulu teise.