Lai riigieksam 2019, ülesanne 4: Arvukaartide tõenäosus
Laual on kuus väliselt ühesugust kaarti, igal kaardil üks arv.
1−23−4567−81
Kaardid pööratakse ringi, segatakse ja võetakse juhuslikult kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et:
1)mõlemal kaardil on täisarv;
2)vähemalt ühel kaardil on negatiivne arv?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2019, ülesanne 4
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kahe kaardi võtmisel järjekord ei loe, seega võimaluste arvu saab leida kombinatsioonide arvuna. Teises küsimuses on lihtsam leida vastandsündmuse tõenäosus.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia kõigi võimaluste arv
Kõigepealt loendame, mitmel viisil saab kuuest kaardist võtta kaks. Kaartide järjekord ei ole oluline, seega on see kombinatsioonide arv kuuest kahe kaupa.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=6 ja k=2.
C62=2!⋅4!6!=26⋅5=15
Paar „1 ja −2“ on sama mis paar „−2 ja 1“, sest kaardid võetakse korraga. Seepärast kasutame kombinatsioone, mitte variatsioone.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia täisarvudega kaardid
Esimeses küsimuses on soodne, kui mõlemal kaardil on täisarv. Vaatame iga kaardi üle.
Negatiivse astendajaga aste on murd.
3−4=341=811
Positiivse täisarvulise astendajaga aste täisarvust on täisarv.
67=279936
Täisarvud on 1, −2 ja 67. Arvud 811, 5 ja −81 ei ole täisarvud.
3 ta¨isarvu
5 on irratsionaalarv, sest 5 ei ole ühegi täisarvu ruut. 67 on küll suur, aga täisarv; selle väärtust ei ole vaja välja arvutada.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta esimene tõenäosus
Soodsad paarid valitakse kolmest täisarvuga kaardist.
k=C32=23⋅2=3
Tõenäosus on soodsate ja kõigi võimaluste arvu jagatis.
P(A)=nk=153=51
Soodsad paarid on {1;−2}, {1;67} ja {−2;67}. Kõik 15 paari on võrdvõimalikud, sest kaardid on väliselt ühesugused ja segatud.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Vaatle vastandsündmust
Teises küsimuses on soodne, kui vähemalt ühel kaardil on negatiivne arv. Selle vastandsündmus on, et kummalgi kaardil ei ole negatiivset arvu. Negatiivsed arvud on −2 ja −81, ülejäänud neli arvu on positiivsed.
Paarid, kus pole ühtegi negatiivset arvu, valitakse neljast positiivse arvuga kaardist.
C42=24⋅3=6
Vastandsündmuse tõenäosus.
P(B)=156=52
„Vähemalt üks“ tähendab üht või kaht. Vastandsündmusel on ainult üks juht (null negatiivset), seda on lihtsam loendada. Ka 3−4=811 on positiivne, sest negatiivne astendaja ei muuda arvu märki.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta teine tõenäosus
Sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1.
P(B)=1−P(B)=1−52=53
Otse loendades: üks negatiivne ja üks positiivne kaart annab 2⋅4=8 paari ja mõlemad negatiivsed 1 paari, kokku 9 paari. 159=53, tulemus on sama.
VASTUS
1) Tõenäosus, et mõlemal kaardil on täisarv, on 51 ehk 0,2. 2) Tõenäosus, et vähemalt ühel kaardil on negatiivne arv, on 53 ehk 0,6.