Lai riigieksam 2019, ülesanne 9: Nõgusa nelinurga külg ja pindala

Tõmbame diagonaali $AC$. See jaotab joonise kolmnurkadeks: nelinurk $ABCD$ on kolmnurk $ABC$, millest on välja lõigatud kolmnurk $ACD$. Nelinurga sisenurk $240^\circ$ on mõõdetud nelinurga seest, kolmnurga $ACD$ nurk $D$ täiendab seda täispöördeni $360^\circ$.

Kolmnurga $ACD$ nurk $D$ on täispöörde ja nelinurga sisenurga vahe.

Kolmnurgas $ACD$ on teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega kasutame koosinusteoreemi.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $AC$ jaoks.

Asendame $AD = 6$, $CD = 10$ ja $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Võtame ruutjuure.

Nüüd on kolmnurga $ACD$ kõik küljed teada. Nurga $ACD$ leiame samuti koosinusteoreemist.

Avaldame koosinusteoreemist nurga $ACD$ koosinuse (nurga vastaskülg on $AD$).

Asendame külgede pikkused.

Leiame nurga taskuarvutiga.

Diagonaal $AC$ jääb nurga $BCA$ haarade vahele nii, et nurk $BCD$ ja nurk $DCA$ moodustavad koos nurga $BCA$.

Liidame kaks nurka.

Kolmnurk $ABC$ on võrdhaarne ($AB = BC$), alus on $AC$. Alusnurgad on võrdsed: $\angle BAC = \angle BCA = 51{,}79^\circ$. Kõrgus $BM$ poolitab aluse, seega $AM = 7$ cm.

Täisnurkses kolmnurgas $ABM$ on $AM$ nurga $A$ lähiskaatet ja $AB$ hüpotenuus.

Avaldame $AB$ ja asendame $AM = 7$ ning $\angle BAM = 51{,}79^\circ$.

Nelinurga pindala on kolmnurga $ABC$ pindala, millest on lahutatud kolmnurga $ACD$ pindala.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.

Kolmnurk $ABC$: küljed $AC = 14$ ja $BC = AB \approx 11{,}32$, nendevaheline nurk $51{,}79^\circ$.

Kolmnurk $ACD$: küljed $6$ ja $10$, nendevaheline nurk $120^\circ$.

Lahutame suuremast kolmnurgast väljalõigatud kolmnurga.