Lai riigieksam 2022, ülesanne 11: Kolmnurga pöörlemisel tekkiv keha

Kolmnurk pöörleb ümber pikima külje, seega tuleb kõigepealt leida kolmas külg. Tähistame kolmnurga $ABC$ nii, et $AC = 3$ dm, $BC = 5$ dm ja $\angle C = 120^\circ$.

Kirjutame koosinusteoreemi küljele $AB$, mis on nurga $C$ vastas.

Asendame külgede pikkused ja $\cos 120^\circ = -0{,}5$.

Võtame ruutjuure.

Kolmnurk pöörleb ümber külje $AB$. Tipp $C$ liigub mööda ringjoont, mille keskpunkt $M$ on teljel ja raadius $r$ on kolmnurga kõrgus $CM$. Küljed $AC$ ja $BC$ moodustavad kaks koonust, millel on ühine põhi.

Koonuste moodustajad on kolmnurga küljed.

Koonuste kõrgused annavad kokku pöördtelje pikkuse.

Põhja raadius on kolmnurga kõrgus küljele $AB$. Selle leidmiseks arvutame kõigepealt kolmnurga pindala.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.

Asendame külgede pikkused ja $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Sama pindala saame ka külje $AB = 7$ ja sellele tõmmatud kõrguse $r$ kaudu.

Kirjutame pindala külje ja kõrguse kaudu.

Võrdsustame kaks pindala avaldist.

Korrutame mõlemaid pooli arvuga $2$ ja jagame arvuga $7$.

Pöördkeha pind koosneb kahe koonuse külgpinnast.

Kirjutame koonuste külgpindalade summa valemi $S_k = \pi r m$ abil.

Asendame $r = \frac{15\sqrt{3}}{14}$, $m_1 = 3$ ja $m_2 = 5$.

Ruumala on kahe koonuse ruumalade summa.

Kirjutame koonuste ruumalade summa. Mõlemal koonusel on sama põhi, seega toome ühise teguri sulgude ette.

Arvutame raadiuse ruudu.

Asendame raadiuse ruudu ruumala valemisse.