Menüü
ÜLESANNE 1110 pTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid

Lai riigieksam 2023, ülesanne 11: Trigonomeetriline võrdus ja koosinuse graafik

  1. 1.Leidke vähim positiivne nurk xx, mille korral kehtib võrduscos⁡2x+cos⁡2x(1+tan⁡2x)2sin⁡(π2+x)=12.\frac{\esile{lugeja}{\cos 2x + \cos^2 x \left(1 + \tan^2 x\right)}}{\esile{nimetaja}{2\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}} = \frac{1}{2}.
  2. 2.Joonestage funktsiooni y=cos⁡xy = \cos x graafik lõigul [π2; 3π]\left[\frac{\pi}{2};\, 3\pi\right] ja lahendage samas lõigus võrrand cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}.

Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 11

Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 50,6% punktidest (Harno aruanne).

Lahenduse joonis

Selle joonise teed lahendamise käigus ise.

Valemikaart: kahekordse nurga valemid

sin⁡2α=2sin⁡α⋅cos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

Valemikaart: trigonomeetria põhiseosed

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
sin⁡(−α)=−sin⁡α,cos⁡(−α)=cos⁡α,tan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha

Valemikaart: taandamisvalemid

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α,cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha
sin⁡(90∘+α)=cos⁡α,cos⁡(90∘+α)=−sin⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α,cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha
tan⁡(180∘−α)=−tan⁡α,tan⁡(180∘+α)=tan⁡α\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha, \quad \tan(180^\circ + \alpha) = \tan\alpha
sin⁡(α+n⋅360∘)=sin⁡α,cos⁡(α+n⋅360∘)=cos⁡α,n∈Z\sin(\alpha + n \cdot 360^\circ) = \sin\alpha, \quad \cos(\alpha + n \cdot 360^\circ) = \cos\alpha, \quad n \in \mathbb{Z}

Sinu vastus

Nurga võid kirjutada radiaanides või kraadides (nt π/3 või 60°).

Nurga võid kirjutada radiaanides või kraadides (nt π/3 või 60°).

Proovi ise enne

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.

  1. 1. Vihje
  2. 2. 1. samm
  3. 3. Kogu lahendus
Leidsin vea lahenduses

Leidsid vea?

Lai riigieksam 2023, ülesanne 11. Kirjuta, mis on valesti: nii saab selle kiiresti parandada.

Kus viga on?

Teade on anonüümne. Ära lisa oma nime ega kontaktandmeid.