Lai riigieksam 2023, ülesanne 12: Kolmnurk vektori ja sirge tõusu abil
Koordinaattasandil on antud punkt A(−3;4) ja vektor AB=(8;−2). Punkt C on valitud x-teljel nii, et sirge BC tõus oleks 2.
1.Leidke punkti C koordinaadid ja joonestage antud koordinaatteljestikku kolmnurk ABC.
2.Arvutage nurga ABC suurus.
3.Arvutage kolmnurga ABC tipust A tõmmatud kõrguse pikkus.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 12
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 55,1% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punkti B koordinaadid saad, kui liidad punkti A koordinaatidele vektori koordinaadid. Punkti C teine koordinaat on 0. Nurk ABC on vektorite BA ja BC vaheline nurk.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkt B
Esimeses küsimuses tuleb leida punkt C, aga selleks on vaja punkti B. Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahed.
Kirjutame vektori koordinaadid, kui B(xB;yB).
AB=(xB−(−3);yB−4)=(8;−2)
Avaldame punkti B koordinaadid.
xB=−3+8=5,yB=4−2=2
Kirjutame punkti B.
B(5;2)
110xyABA(−3;4)B(5;2)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia punkt C
Punkt C asub x-teljel, seega C(x;0). Sirge BC tõus on 2.
Kirjutame kahe punkti kaudu sirge tõusu valemi.
k=x2−x1y2−y1
Asendame punktid B(5;2) ja C(x;0) ning tõusu k=2.
x−50−2=2
Korrutame mõlemaid pooli nimetajaga x−5.
−2=2(x−5)
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
−1=x−5
Viime arvu 5 vasakule poole.
x=4⇒C(4;0)
110xyABA(−3;4)B(5;2)C(4;0)
Kontroll: 4−50−2=−1−2=2. Nimetaja x−5 ei tohi olla null; x=4 sobib.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Joonesta kolmnurk
Kanname tipud teljestikku ja ühendame need.
A(−3;4),B(5;2),C(4;0)
110xyA(−3;4)B(5;2)C(4;0)
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia vektorid BA ja BC
Teises küsimuses tuleb leida nurk ABC. See on tipus B, seega kasutame vektoreid, mis algavad punktist B.
Vektor BA on vektori AB vastandvektor.
BA=(−8;2),∣BA∣=(−8)2+22=68
Vektor BC on punktide C ja B koordinaatide vahe.
BC=(4−5;0−2)=(−1;−2),∣BC∣=(−1)2+(−2)2=5
110xyBABCA(−3;4)B(5;2)C(4;0)
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta nurk skalaarkorrutisega
Arvutame skalaarkorrutise koordinaatide kaudu.
BA⋅BC=(−8)⋅(−1)+2⋅(−2)=8−4=4
Skalaarkorrutis on ka pikkuste ja nurga koosinuse korrutis. Avaldame koosinuse.
cos∠ABC=∣BA∣⋅∣BC∣BA⋅BC=68⋅54≈0,2169
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠ABC≈77,47∘≈77,5∘
110xyBABC≈77,5∘A(−3;4)B(5;2)C(4;0)
Valemikaardil on a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ. Koosinus on positiivne, seega on nurk terav. Oluline on võtta mõlemad vektorid tipust B välja: vektoritega AB ja BC saaksime kõrvunurga 102,5∘.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta kõrgus täisnurksest kolmnurgast
Kolmandas küsimuses tuleb leida tipust A tõmmatud kõrgus AH. Kolmnurk ABH on täisnurkne (täisnurk tipus H), kõrgus AH on nurga B vastaskaatet ja BA on hüpotenuus.
Kirjutame vastaskaateti ja hüpotenuusi seose.
sin∠ABC=∣BA∣h
Avaldame kõrguse ja asendame.
h=68⋅sin77,47∘≈8,05≈8,0
110xy≈77,5∘h≈8,0A(−3;4)B(5;2)C(4;0)H
Nurgad B ja C on mõlemad teravad, seega asub kõrguse aluspunkt H lõigul BC; see on H(4,2;0,4). Täpne väärtus on h=518≈8,05. Sama tulemuse annab punkti A kaugus sirgest BC: y=2x−8.
VASTUS
1. Punkti C koordinaadid on C(4;0). 2. Nurk ABC on umbes 77,5∘. 3. Tipust A tõmmatud kõrguse pikkus on umbes 8,0 ühikut.