Lai riigieksam 2023, ülesanne 10: Püramiidi külgserv ja selle nurk põhjaga
Nelinurkse püramiidi ABCDE põhjaks on ristkülik ABCD. Tipu E projektsioon põhjal asub põhiserva CD keskpunktis.Püramiidi kõrgus on 7,5 cm, ruumala on 120 cm³ ning põhiservade AB ja BC pikkused suhtuvad nagu 4 : 3.
1.Tehke ülesande tekstile vastav joonis.
2.Arvutage püramiidi külgserva EB pikkus.
3.Arvutage külgserva EB ja püramiidi põhja vaheline nurk.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 10
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 57,1% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: püramiidi ruumala
Sp on po˜hja pindala, H ko˜rgus
V=31SpH
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista AB=4x ja BC=3x ning leia x ruumala valemist. Kõrguse aluspunkt K on serva CD keskpunkt; külgserv EB on täisnurkse kolmnurga EKB hüpotenuus.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tee joonis
Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Joonestame ristküliku ABCD, märgime serva CD keskpunkti K ja selle kohale tipu E. Lõik EK on püramiidi kõrgus ja see on põhjaga risti.
Kirjutame üles, mis on antud.
EK=H=7,5 cm,V=120 cm3,AB:BC=4:3
7,5 cm4x3xABCDEK
Lohista, et pöörata
Tipu projektsioon põhjal on punkt, kuhu kukuks tipust põhjaga risti tõmmatud lõik. Selles ülesandes on see serva CD keskpunkt, seega on külgtahk CDE põhjaga risti.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Avalda põhja pindala
Teises küsimuses tuleb leida külgserv EB. Kõigepealt leiame põhja mõõtmed.
Suhtest 4:3 tähistame servad ühe tundmatu x kaudu.
AB=4x,BC=3x
Põhja pindala on ristküliku pindala.
Sp=4x⋅3x=12x2
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia põhiservad ruumalast
Kirjutame püramiidi ruumala valemi.
V=31SpH
Asendame V=120, Sp=12x2 ja H=7,5.
31⋅12x2⋅7,5=120
Arvutame vasaku poole kordaja: 31⋅12⋅7,5=30.
30x2=120
Jagame mõlemaid pooli arvuga 30.
x2=4
Pikkus on positiivne, seega võtame positiivse ruutjuure.
x=2
Arvutame põhiservad.
AB=4⋅2=8 cm,BC=3⋅2=6 cm
7,5 cm8 cm6 cmABCDEK
Lohista, et pöörata
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia lõik BK
Punkt K on serva CD keskpunkt, seega CK=8:2=4 cm. Kolmnurk BCK on täisnurkne, sest ristküliku nurk C on täisnurk.
Kasutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas BCK.
BK=BC2+CK2=62+42=52≈7,21 cm
7,5 cm8 cm6 cm4 cm52 cmABCDEK
Lohista, et pöörata
CD=AB=8 cm, sest ristküliku vastasküljed on võrdsed. Edasi arvutame täpse väärtusega 52.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia külgserv EB
Kõrgus EK on põhjaga risti, seega ka lõiguga BK risti. Kolmnurk EKB on täisnurkne, hüpotenuus on EB.
Kasutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas EKB.
EB=EK2+BK2=7,52+52=56,25+52=108,25≈10,4 cm
7,5 cm8 cm6 cm4 cm52 cm≈10,4 cmABCDEK
Lohista, et pöörata
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia külgserva ja põhja vaheline nurk
Kolmandas küsimuses tuleb leida nurk sirge EB ja põhja tasandi vahel. See on nurk külgserva ja selle projektsiooni BK vahel ehk nurk EBK.
Täisnurkses kolmnurgas EKB on EK nurga EBK vastaskaatet ja BK lähiskaatet.
tan∠EBK=BKEK=527,5≈1,040
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠EBK≈46,1∘
7,5 cm8 cm6 cm4 cm52 cm≈10,4 cm≈46,1∘ABCDEK
Lohista, et pöörata
Sirge ja tasandi vaheline nurk on nurk sirge ja selle tasandile projektsiooni vahel. Punkti E projektsioon on K ja punkt B on juba põhjal, seega on serva EB projektsioon lõik KB.
VASTUS
2. Külgserva EB pikkus on umbes 10,4 cm. 3. Külgserv EB moodustab püramiidi põhjaga umbes 46,1∘ suuruse nurga.