GÜMNAASIUMStereomeetria

Sirged ja tasandid ruumis

Ruumigeomeetria ülesandes tuleb kõigepealt leida joonisel õige nurk. Peaaegu alati asub see mõnes täisnurkses kolmnurgas.

Sirge ja tasandi vaheline nurk

Lohista, et pöörata

Kahe tasandi vaheline nurk

Lohista, et pöörata

Risttahuka diagonaal

Lohista, et pöörata

Vektor ruumis

Lohista, et pöörata

Tähised

$d$: risttahuka diagonaal
$a$ , $b$ , $c$: risttahuka mõõtmed (pikkus, laius, kõrgus)
$S_{\text{proj}}$: hulknurga ristprojektsiooni pindala
$S$: hulknurga pindala
$\varphi$: projektsiooni valemis kahe tasandi vaheline nurk (hulknurga tasandi ja projektsioonitasandi vahel); nurga valemis vektorite $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ vaheline nurk
$(x_1;\,y_1;\,z_1)$ , $(x_2;\,y_2;\,z_2)$: punktide $A$ ja $B$ koordinaadid
$|AB|$: lõigu $AB$ pikkus (punktide vaheline kaugus)
$M$: lõigu $AB$ keskpunkt
$\vec{a}$ , $\vec{b}$: vektorid; $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ ja $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ on nende koordinaadid
$|\vec{a}|$: vektori $\vec{a}$ pikkus
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: vektorite skalaarkorrutis

\text{nurk sirge ja selle ristprojektsiooni vahel}

Ristprojektsioon on sirge „vari“ tasandil.

\text{nurk kahe lõikesirgega risti oleva sirge vahel}

Kumbki sirge asub ühel tasandil ja mõlemad on tõmmatud lõikesirge samasse punkti.

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

S_{\text{proj}} = S \cdot \cos\varphi

|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Vektori $\vec{a} = (a_1;\,a_2;\,a_3)$ pikkus on samamoodi $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ .

M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\, \frac{y_1 + y_2}{2};\, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}, \qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Nurga $ACB$ leidmiseks võta vektorid $\overrightarrow{CA}$ ja $\overrightarrow{CB}$ .

Harjutuspank

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Ruumilisel joonisel paistab täisnurk sageli terav- või nürinurgana. Otsusta nurga üle põhjenduse, mitte joonise järgi.