Lai riigieksam 2020, ülesanne 10: Ristkülikukujulise põhjaga püramiidi ruumala

Ristküliku diagonaalid on võrdsed ja poolitavad teineteist lõikepunktis $O$. Diagonaalide vaheline nurk $60^\circ$ asub lühema külje vastas: olgu see külg $AD$ ja $\angle AOD = 60^\circ$.

Kolmnurgas $AOD$ on kaks külge pool diagonaalist.

Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed, kumbki on $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2}$.

Kõik nurgad on $60^\circ$, seega kolmnurk on võrdkülgne.

Diagonaali ja lühema külje summa on $36$ m.

Koondame ja avaldame $d$.

Lühem külg on pool diagonaalist.

Pikema külje leiame täisnurksest kolmnurgast $ABD$ Pythagorase teoreemiga.

Kõrgus toetub ühte ristküliku tippu, olgu see tipp $A$. Siis $EA$ on püramiidi kõrgus $H$ ja külgservade projektsioonid põhjal on $AB$, $AC$ ja $AD$.

Iga külgserv on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, näiteks kolmnurgas $EAC$.

Pikim projektsioon on diagonaal $AC = 24$, seega pikim külgserv on $EC$.

Kolmnurk $EAC$ on täisnurkne, täisnurk on tipus $A$. Kaatet $AC = 24$ on nurga $30^\circ$ lähiskaatet.

Tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe.

Avaldame $EA$ ning asendame $AC = 24$ ja $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Põhja pindala on ristküliku külgede korrutis.

Püramiidi ruumala valem.

Asendame $S_p = 144\sqrt{3}$ ja $H = 8\sqrt{3}$.