Lai riigieksam 2019, ülesanne 12: Püramiidi külgserv ja selle nurk põhjaga

Kuna $DE$ on püramiidi kõrgus, on see risti põhja iga sirgega, mis läbib punkti $D$. Seega on kolmnurk $ADE$ täisnurkne, täisnurk on tipus $D$. Serva $AE$ projektsioon põhjale on $AD$, nii et serva $AE$ ja põhja vaheline nurk on $\angle EAD = 60^\circ$.

Täisnurkses kolmnurgas $ADE$ on $DE$ nurga $A$ vastaskaatet ja $AD$ lähiskaatet.

Avaldame $DE$; $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

Külgtahu $ADE$ pindala on pool kaatetite korrutisest.

Kirjutame täisnurkse kolmnurga pindala kaatetite kaudu.

Asendame $DE = AD\sqrt{3}$ ja $S_{ADE} = 18\sqrt{3}$.

Korrutame mõlemat poolt arvuga $2$ ja jagame $\sqrt{3}$-ga.

Pikkus on positiivne.

Serva $BE$ projektsioon põhjale on ruudu diagonaal $BD$.

Täisnurkne kolmnurk $ABD$, Pythagorase teoreem.

Võtame ruutjuure.

Kolmnurk $BDE$ on täisnurkne, sest $DE$ on risti põhjaga ja seega ka diagonaaliga $BD$.

Pythagorase teoreem kolmnurgas $BDE$.

Võtame ruutjuure ja toome täisruudu juure alt välja.

Serva $BE$ projektsioon põhjale on $BD$, seega otsitav nurk on $\angle EBD$.

Nurga $B$ vastaskaatet on $DE$ ja lähiskaatet $BD$.

Leiame nurga taskuarvutiga.