Lai riigieksam 2024, ülesanne 12: Võrdsete külgservadega püramiidi ruumala
Püramiidi põhi on täisnurkne kolmnurk, mille üks kaatet on 23 dm ja selle lähisnurk on 30∘. Püramiidi kõik külgservad on 52 dm. Arvutage püramiidi täpne ruumala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 12
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 44,4% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: püramiidi ruumala
Sp on po˜hja pindala, H ko˜rgus
V=31SpH
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kui püramiidi kõik külgservad on võrdsed, asub kõrguse alus põhja ümberringjoone keskpunktis. Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on hüpotenuusi keskpunkt.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia põhja teine kaatet
Ruumala jaoks on vaja põhja pindala ja püramiidi kõrgust. Tähistame põhja tipud nii, et täisnurk on tipus C, nurk 30∘ on tipus A ja kaatet AC=23 dm.
Tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe.
tan30∘=ACBC
Avaldame BC ning asendame AC=23 ja tan30∘=33.
BC=23⋅33=32⋅3=2 (dm)
30∘2352ABCS
Lohista, et pöörata
Antud kaatet on nurga 30∘ lähiskaatet, otsitav kaatet BC on selle nurga vastaskaatet. Seepärast sobib tangens. 3⋅3=3.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia põhja hüpotenuus ja pindala
Hüpotenuus Pythagorase teoreemist.
AB=(23)2+22=12+4=16=4 (dm)
Täisnurkse kolmnurga pindala on kaatetite korrutise pool.
Sp=223⋅2=23(dm2)
235224ABCS
Lohista, et pöörata
(23)2=4⋅3=12. Hüpotenuusi saab kontrollida ka nii: 30∘ vastas olev kaatet on pool hüpotenuusist, 2=24.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia kõrguse aluspunkt
Kuna kõik külgservad on võrdsed, on kõrguse alus O kõigist põhja tippudest võrdsel kaugusel. See on põhja ümberringjoone keskpunkt.
Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on hüpotenuusi keskpunkt, raadius on pool hüpotenuusist.
R=OA=2AB=24=2 (dm)
52R=2ABCSO
Lohista, et pöörata
Kolmnurgad SOA, SOB ja SOC on täisnurksed, neil on ühine kaatet SO ja võrdsed hüpotenuusid 52. Seega on ka teised kaatetid võrdsed: OA=OB=OC. Täisnurkse kolmnurga puhul on selline punkt hüpotenuusi keskpunkt, sest täisnurk on piirdenurk, mis toetub diameetrile.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Arvuta püramiidi kõrgus
Kolmnurk SOA on täisnurkne, täisnurk on tipus O. Selle hüpotenuus on külgserv SA=52 ja kaatetid on kõrgus h ning raadius R=2.
Pythagorase teoreem kolmnurgas SOA.
h2+R2=SA2
Avaldame h ja asendame SA=52 ning R=2.
h=(52)2−22=52−4=48=43 (dm)
52R=2hABCSO
Lohista, et pöörata
Lihtsustame juurt: 48=16⋅3=43. Ülesanne küsib täpset ruumala, seega jätame juure alles.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Arvuta ruumala
Püramiidi ruumala on kolmandik põhja pindala ja kõrguse korrutisest.
V=31SpH
Asendame Sp=23 ja H=43.
V=31⋅23⋅43=31⋅8⋅3=8(dm3)
Juurte korrutis: 23⋅43=8⋅(3)2=8⋅3=24 ja kolmandik sellest on 8.