Lai riigieksam 2025, ülesanne 3: Kuulid kahes karbis
Kahes karbis on kummaski 10 kuuli. Esimeses karbis on 3 punast ja 7 valget kuuli, teises karbis 6 punast ja 4 valget kuuli.
1.Arvutage tõenäosus, et mõlemast karbist ühe kuuli juhuslikul võtmisel on mõlemad kuulid punased.
2.Esimesest karbist pannakse üks kuul selle värvi vaatamata teise karpi.Kuulide segamise järel võetakse teisest karbist juhuslikult üks kuul. Arvutage tõenäosus, et see kuul on punane.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 49,16% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teises küsimuses on kaks võimalust, mis värvi kuul teise karpi läks. Arvuta kummagi tee tõenäosus eraldi.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punase kuuli tõenäosus kummaski karbis
Esimeses küsimuses võetakse kummastki karbist üks kuul ja mõlemad peavad olema punased. Leiame kõigepealt, kui tõenäoline on punane kuul kummaski karbis eraldi.
Esimeses karbis on 10 kuulist 3 punased.
P(I karbist punane)=103
Teises karbis on 10 kuulist 6 punased.
P(II karbist punane)=106
Klassikaline tõenäosus on soodsate võimaluste arv jagatud kõigi võimaluste arvuga.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Korruta sõltumatute sündmuste tõenäosused
Kuuli võtmine ühest karbist ei mõjuta teist karpi, seega korrutame tõenäosused.
P(A)=103⋅106=10018=509
Kümnendmurruna on see tõenäosus järgmine.
509=0,18
Sõltumatute sündmuste koosesinemise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis (korrutamislause). Murru 10018 taandame arvuga 2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Vaata juhtu, kus teise karpi läks punane kuul
Teises küsimuses ei tea me, mis värvi kuul teise karpi pandi. Vaatame kahte juhtu eraldi. Pärast kuuli lisamist on teises karbis 11 kuuli.
Esimesest karbist läheb punane kuul tõenäosusega 103.
P(la¨ks punane)=103
Siis on teises karbis 6+1=7 punast kuuli 11 kuuli hulgas.
Teise karpi läheb kas punane või valge kuul, mitte mõlemad korraga. Välistavate sündmuste tõenäosused liidetakse (liitmislause). Murdu 11063 taandada ei saa, sest 63=32⋅7 ja 110=2⋅5⋅11.
VASTUS
1) Tõenäosus, et mõlemast karbist võetud kuulid on punased, on 509=0,18. 2) Tõenäosus, et teisest karbist võetud kuul on punane, on 11063≈0,573.