Põhikooli lõpueksam 2018, ülesanne 1: Tegurdamine ja murdavaldise lihtsustamine
1.Tegurda avaldised
1)2a−2;
2)a2−1.
2.Lihtsusta avaldis2a−2a+1−2(a2−1)a2−2a−3, võimalusel kasuta eelnevalt saadud tulemusi.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2018, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teises osas kirjuta nimetajad tegurdatud kujul, nagu leidsid esimeses osas. Siis on näha, millega tuleb esimest murdu laiendada.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1.1Samm 1: Too ühine tegur sulgude ette
Esimeses küsimuses tuleb tegurdada kaks avaldist. Tegurdada tähendab kirjutada avaldis korrutisena. Alustame avaldisest 2a−2.
Mõlemas liikmes on tegur 2. Kirjutame kummagi liikme korrutisena, milles on tegur 2.
2a−2=2⋅a−2⋅1
Toome ühise teguri 2 sulgude ette. Sulgudesse jääb see, mis jääb liikmetest järele.
2⋅a−2⋅1=2(a−1)
Mõlemas liikmes on tegur 2. Toome selle sulgude ette; sulgudesse jääb see, mis saadakse kummagi liikme jagamisel kahega: 2a:2=a ja 2:2=1. Kontrolliks võib sulud uuesti avada: 2(a−1)=2a−2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1.2Samm 2: Tegurda ruutude vahe valemiga
Teisena tegurdame avaldise a2−1. Siin ühist tegurit ei ole, aga avaldis on kahe ruudu vahe.
Kirjutame arvu 1 ruuduna, sest 1=12.
a2−1=a2−12
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on a ja teine liige 1.
a2−12=(a−1)(a+1)
Kontrollime tulemust: korrutame sulud uuesti lahti.
(a−1)(a+1)=a2+a−a−1=a2−1
Ruutude vahe valem: a2−b2=(a−b)(a+b). Siin on b asemel 1. Sulgude järjekord ei ole oluline, sest korrutamisel võib tegureid vahetada.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Kirjuta nimetajad tegurdatud kujul
Teises küsimuses tuleb lihtsustada kahe murru vahe. Murdude nimetajates on samad avaldised, mida tegurdasime esimeses küsimuses: 2a−2 ja a2−1.
Asendame nimetajates 2a−2=2(a−1) ja a2−1=(a−1)(a+1), nagu leidsime esimeses küsimuses.
Tegurdatud nimetajatest on näha, et teise murru nimetajas on kõik esimese murru nimetaja tegurid (2 ja a−1) ning lisaks tegur a+1. Seega on ühine nimetaja teise murru nimetaja 2(a−1)(a+1).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Vii murrud ühisele nimetajale
Ühine nimetaja on 2(a−1)(a+1). Esimesel murrul puudub nimetajas tegur a+1, seega laiendame esimest murdu sellega.
Laiendame esimest murdu teguriga a+1: korrutame sellega nii lugejat kui ka nimetajat.
Murru laiendamisel korrutame lugejat ja nimetajat sama avaldisega, murru väärtus sellest ei muutu. Sama nimetajaga murdude lahutamisel lahutatakse lugejad ja nimetaja jääb samaks.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Ava lugejas sulud ja koonda
Lihtsustame nüüd ainult lugejat (a+1)2−(a2−2a−3). Nimetaja jääb seni samaks.
Võtame summa ruudu valemiga, kus esimene liige on a ja teine liige 1.
(a+1)2=a2+2⋅a⋅1+12=a2+2a+1
Paneme summa ruudu lugejasse ja avame teised sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.
(a+1)2−(a2−2a−3)=a2+2a+1−a2+2a+3
Koondame sarnased liikmed: a2−a2=0, 2a+2a=4a ja 1+3=4.
a2+2a+1−a2+2a+3=4a+4
Summa ruut: (a+b)2=a2+2ab+b2. Miinus sulu ees muudab iga liikme märgi: −(a2−2a−3)=−a2+2a+3. Liikmed a2 ja −a2 koonduvad nulliks.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Tegurda lugeja ja taanda
Kirjutame murru uue lugejaga 4a+4 ja vaatame, kas murdu saab taandada.
Toome lugejas ühise teguri 4 sulgude ette.
2(a−1)(a+1)4a+4=2(a−1)(a+1)4(a+1)
Tegur a+1 on nii lugejas kui ka nimetajas. Taandame murdu teguriga a+1 ja seejärel arvuga 2.
2(a−1)(a+1)4(a+1)=2(a−1)4=a−12
Taandada saab ainult tegureid, mitte liidetavaid: seepärast tegurdame lugeja enne taandamist. Avaldisel on mõte, kui nimetaja ei ole null ehk a=1 ja a=−1. Teine tee: teise murru lugeja tegurdub, a2−2a−3=(a−3)(a+1), ja siis saab teist murdu kohe teguriga a+1 taandada; tulemus on sama.
VASTUS
1) Tegurdatud kujul on 2a−2=2(a−1) ja a2−1=(a−1)(a+1). 2) Lihtsustatud avaldis on a−12.