Põhikooli lõpueksam 2018, ülesanne 2: Ruutvõrrand ja murdudega lineaarvõrrand

Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrrand $(2x - 1)^2 = 2x(x - 2) + 9$. Mõlemal poolel on sulud, seega avame kõigepealt need.

Vasakul on vahe ruut. Kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on $2x$ ja teine liige $1$.

Paremal korrutame sulgude ees oleva $2x$ sulgude mõlema liikmega.

Kirjutame võrrandi uuesti, nüüd ilma sulgudeta.

Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub vastupidiseks.

Koondame sarnased liikmed: $4x^2 - 2x^2 = 2x^2$, $-4x + 4x = 0$ ja $1 - 9 = -8$.

Viime arvu $-8$ paremale poole. Et $x^2$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Jagamise järel jääb vasakule $x^2$ ja paremale $8 : 2 = 4$.

Võtame ruutjuure. Ruutu tõstes kaob märk, seega sobivad nii positiivne kui ka negatiivne ruutjuur.

Kirjutame mõlemad lahendid eraldi välja.

Ülesanne nõuab ruutvõrrandi lahendite kontrolli. Asendame lahendi algsesse võrrandisse ning arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).

Arvutame võrrandi vasaku poole, kui $x = 2$.

Arvutame võrrandi parema poole, kui $x = 2$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega $x = 2$ on võrrandi lahend.

Arvutame võrrandi vasaku poole, kui $x = -2$. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.

Arvutame võrrandi parema poole, kui $x = -2$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega ka $x = -2$ on võrrandi lahend.

Teises küsimuses tuleb lahendada murdudega võrrand. Vabaneme kõigepealt murdudest: korrutame võrrandi mõlemat poolt nimetajate vähima ühiskordsega.

Nimetajate $3$, $6$ ja $4$ vähim ühiskordne on $12$. Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $12$.

Korrutame arvuga $12$ iga liiget. Lugejad paneme sulgudesse, sest korrutada tuleb kogu lugejat.

Taandame murrud: $12 : 3 = 4$, $12 : 6 = 2$ ja $12 : 4 = 3$.

Avame sulud: korrutame sulgude ees oleva arvu sulgude iga liikmega.

Koondame vasakul pool arvud: $-20 + 14 = -6$.

Jätame $x$-iga liikmed vasakule ja viime arvud paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Koondame mõlemal poolel. Et $x$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $5$.

Vasakule jääb $x$ ja paremale $15 : 5$.