Põhikooli lõpueksam 2018, ülesanne 5: Muruplats, täisnurkne ja võrdhaarne trapets
Pargis olev muruplats oli põhiplaanilt täisnurkne trapets ABCD, mille haarad olid 41 m ja 40 m. Pargi uuendustööde käigus sai muruplatsist võrdhaarne trapets ABED, mille lühem alus BE on 30 m.
1.Märgi joonisele trapetsite tipud A, B, C, D ja E ning viiruta joonisel see osa muruplatsist, mis jäi alles pärast uuendustöid.
2.Arvuta uuendustööde käigus tekkinud muruplatsi pindala.
3.Uus muruplats tahetakse ääristada juhtkaabliga, et niitmisel saaks kasutada robotniidukit. Mitu meetrit juhtkaablit on vaja?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2018, ülesanne 5
Ülesande joonis
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Täisnurkse trapetsi lühem haar on risti alustega ja on ühtlasi trapetsi kõrgus. Kriipsjoonega eraldatud kolmnurk on täisnurkne ja selles on teada hüpotenuus ja üks kaatet.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Märgi tipud ja viiruta allesjäänud osa
Esimeses küsimuses tuleb märkida tipud ja viirutada muruplatsi allesjäänud osa. Võrdhaarse trapetsi ABED lühem alus on BE, seega on B ja E ülemise aluse otspunktid ning A ja D alumise aluse otspunktid. Täisnurkse trapetsi ABCD neljas tipp C on täisnurga tipp kriipsjoone otsas. Alles jäi võrdhaarne trapets ABED, ära lõigati kolmnurk ECD. Viirutame trapetsi ABED.
ABECD
Tipud loetakse järjest mööda kujundi äärt. Trapetsis ABED järgneb tipule A tipp B ja tipule E tipp D, seega on A ja B ühe haara ning E ja D teise haara otspunktid.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Kanna mõõdud joonisele
Teises küsimuses tuleb arvutada uue muruplatsi ehk trapetsi ABED pindala. Selleks on vaja teada selle trapetsi mõlemat alust ja kõrgust. Kanname kõigepealt teadaolevad mõõdud joonisele.
Täisnurkse trapetsi haarad on AB ja CD. Haar CD on alustega risti, seega on see lühem haar.
CD=40 m,AB=41 m
Võrdhaarse trapetsi ABED haarad on võrdsed.
ED=AB=41 m
Lühem alus on antud.
BE=30 m
ABECD41 m30 m41 m40 m
Paralleelsete sirgete vahel on lühim tee ristlõik. Alustega risti olev haar CD on seega lühem kui kaldu olev haar AB. Ühtlasi on CD=40 m mõlema trapetsi kõrgus.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia lõik EC Pythagorase teoreemiga
Pikema aluse leidmiseks vaatame äralõigatud kolmnurka ECD. See on täisnurkne (täisnurk on tipus C). Selle hüpotenuus on ED=41 m ja üks kaatet CD=40 m.
Kirjutame Pythagorase teoreemi: hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga.
ED2=EC2+CD2
Otsime kaatetit EC, seega lahutame hüpotenuusi ruudust teise kaateti ruudu.
EC2=ED2−CD2
Asendame ED=41 m ja CD=40 m ning arvutame ruudud.
EC2=412−402=1681−1600=81
Võtame ruutjuure.
EC=81=9 (m)
ABECD41 m30 m41 m40 m9 m
Täisnurk on tipus C, seega on selle vastas olev külg ED hüpotenuus. Kaateti leidmiseks lahutame hüpotenuusi ruudust teise kaateti ruudu. Kontroll: 92+402=81+1600=1681=412.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia pikem alus AD
Tõmbame tippudest B ja E kõrgused alusele AD; nende aluspunktid on F ja G. Kõrgused jaotavad aluse AD kolmeks lõiguks AF, FG ja GD.
Nelinurk ECDG on ristkülik, seega on GD sama pikk kui EC. Võrdhaarne trapets on sümmeetriline, seega on ka AF sama pikk.
AF=GD=EC=9 m
Nelinurk BEGF on ristkülik, seega on keskmine lõik sama pikk kui lühem alus.
FG=BE=30 m
Liidame kolm lõiku kokku.
AD=AF+FG+GD=9+30+9=48 (m)
ABECD41 m30 m41 m40 m9 m9 m30 m9 m
Ristküliku vastasküljed on võrdsed. Võrdhaarses trapetsis on kaks äärmist täisnurkset kolmnurka (ABF ja DEG) võrdsed, seega on äärmised lõigud ühepikkused.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta trapetsi pindala
Nüüd teame trapetsi ABED aluseid 48 m ja 30 m ning kõrgust 40 m.
Kirjutame trapetsi pindala valemi, kus a ja b on alused ning h kõrgus.
S=2a+b⋅h
Asendame alused a=48 m, b=30 m ja kõrguse h=40 m.
S=248+30⋅40=278⋅40=39⋅40=1560(m2)
ABECD41 m30 m41 m40 m9 m48 mh=40 mS=1560 m2
Trapetsi pindala on aluste poolsumma ja kõrguse korrutis. Kõrgus on 40 m, sest see on võrdne alustega risti oleva haaraga CD. Kontroll lahutamisega: täisnurkse trapetsi pindala on 248+39⋅40=1740m2, kolmnurga ECD pindala 29⋅40=180m2 ja 1740−180=1560.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta trapetsi ümbermõõt
Kolmandas küsimuses tuleb leida juhtkaabli pikkus. Juhtkaabel läheb ümber uue muruplatsi, seega on vaja trapetsi ABED ümbermõõtu ehk kõigi nelja külje pikkuste summat.
Kirjutame ümbermõõdu kui külgede summa.
P=AB+BE+ED+AD
Asendame külgede pikkused ja liidame.
P=41+30+41+48=160 (m)
ABECD41 m30 m41 m40 m9 m48 mS=1560 m2P=160 m
VASTUS
1) Tipud on joonisel märgitud ja allesjäänud osa, võrdhaarne trapets ABED, on viirutatud. 2) Uue muruplatsi pindala on 1560 m2. 3) Juhtkaablit on vaja 160 meetrit.