Põhikooli lõpueksam 2018, ülesanne 4: Ruutfunktsiooni ja lineaarfunktsiooni graafikud
On antud funktsioon y=−x2+x+6.
1.Leia selle funktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid.
2.Arvuta selle funktsiooni väärtus, kui x=4.
3.Joonesta selle funktsiooni graafik.
4.Joonesta samasse teljestikku funktsiooni y=−3x+6 graafik.
5.Tähista funktsioonide graafikute lõikepunktid ja leia jooniselt nende lõikepunktide koordinaadid.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2018, ülesanne 4
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−7−6−5−4−3−2−11234567−7−6−5−4−3−2−112345670xy
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Valemikaart: lineaarfunktsioon
y=ax+b
a on to˜us,b on algordinaat
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Nullkohtade leidmiseks võrdsusta funktsiooni avaldis nulliga. Võrrandit on mugavam lahendada, kui korrutad selle enne arvuga −1. Haripunkt asub nullkohtade keskel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida nullkohad ja haripunkt. Nullkoht on selline x väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null ehk y=0. Nullkohas lõikab graafik x-telge.
Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga. Et ruutliikme kordaja oleks positiivne, korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga −1.
−x2+x+6=0⋅(−1)
Korrutamisel arvuga −1 muutub iga liikme märk vastupidiseks.
Võrrandi mõlema poole korrutamine arvuga −1 lahendeid ei muuda, aga lahendivalemis on lihtsam arvutada, kui a on positiivne. Juure all on −4⋅1⋅(−6)=+24, sest kahe negatiivse teguri korrutis on positiivne. Nullkohad kirjutame kasvavas järjekorras.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia haripunkt
Parabool on sümmeetriline, seega asub haripunkt nullkohtade keskel. Haripunkti x-koordinaadi leiame nullkohtade aritmeetilise keskmisena ja y-koordinaadi funktsiooni valemist.
Kirjutame haripunkti x-koordinaadi valemi.
xh=2x1+x2
Asendame nullkohad x1=−2 ja x2=3.
xh=2−2+3=21=0,5
Haripunkti y-koordinaadi leidmiseks asendame funktsiooni valemisse x=0,5. Ruutu tõstame ainult arvu 0,5, miinus jääb ette.
Sama x-koordinaadi annab valem xh=−2ab, kus funktsiooni y=−x2+x+6 kordajad on a=−1 ja b=1: xh=−2⋅(−1)1=21=0,5. Ruutliikme kordaja on negatiivne, seega avaneb parabool alla ja haripunkt on graafiku kõrgeim punkt.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta väärtus, kui x = 4
Teises küsimuses tuleb arvutada funktsiooni väärtus, kui x=4. Asendame funktsiooni valemisse x asemele arvu 4.
Asendame x=4. Ruutu tõstame ainult arvu 4, miinusmärk jääb ruudu ette.
Avaldises −x2 käib ruut ainult x kohta: −42=−(4⋅4)=−16. Saadud punkt (4;−6) asub graafikul ja aitab seda joonestada.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Koosta parabooli väärtuste tabel
Kolmandas küsimuses tuleb joonestada funktsiooni graafik. Ruutliikme kordaja on negatiivne, seega avaneb parabool alla. Teada on nullkohad, haripunkt ja punkt (4;−6). Arvutame valemiga y=−x2+x+6 veel mõned punktid.
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=−02+0+6=6
Arvutame y väärtuse, kui x=1.
y=−12+1+6=−1+1+6=6
Arvutame y väärtuse, kui x=−1. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
y=−(−1)2+(−1)+6=−1−1+6=4
Arvutame y väärtuse, kui x=2.
y=−22+2+6=−4+2+6=4
Arvutame y väärtuse, kui x=−3.
y=−(−3)2+(−3)+6=−9−3+6=−6
Kanname tulemused koos nullkohtade ja punktiga (4;−6) väärtuste tabelisse.
Punktid on sümmeetriatelje x=0,5 suhtes paarides: kohtadel 0 ja 1 on väärtus 6, kohtadel −1 ja 2 on väärtus 4 ning kohtadel −3 ja 4 on väärtus −6. Tabeli punktid kanname teljestikku.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Joonesta parabool
Ühendame tabeli punktid ja haripunkti sujuva kõverjoonega. Saame funktsiooni graafiku.
Parabooli punkte ühendatakse sujuva kõverjoonega, mitte sirglõikudega. Haripunkti juures on parabool ümar, mitte terav.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Koosta sirge väärtuste tabel
Neljandas küsimuses tuleb joonestada samasse teljestikku funktsiooni y=−3x+6 graafik. See on lineaarfunktsioon ja selle graafik on sirge. Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist, kolmas punkt on kontrolliks.
Küsimus 5Samm 8: Tähista ja loe jooniselt lõikepunktid
Viiendas küsimuses tuleb graafikute lõikepunktid tähistada ja nende koordinaadid jooniselt lugeda. Graafikud lõikuvad kahes punktis. Tähistame need tähtedega A ja B.
Loeme jooniselt lõikepunktide koordinaadid.
A(0;6),B(4;−6)
Kontrollime punkti A: asendame x=0 mõlemasse valemisse. Mõlemal juhul tuleb y=6.
−02+0+6=6,−3⋅0+6=6
Kontrollime punkti B: asendame x=4 mõlemasse valemisse. Mõlemal juhul tuleb y=−6.
Kui punkt asub mõlemal graafikul, siis selle koordinaadid rahuldavad mõlemat valemit. Lõikepunktid saab leida ka arvutades: −x2+x+6=−3x+6 ehk x2−4x=0 ehk x(x−4)=0, millest x=0 või x=4.
VASTUS
1) Funktsiooni nullkohad on x1=−2 ja x2=3 ning graafiku haripunkt on H(0,5;6,25). 2) Funktsiooni väärtus, kui x=4, on −6. 3) ja 4) Graafikud on joonisel. 5) Graafikute lõikepunktid on A(0;6) ja B(4;−6).