Põhikooli lõpueksam 2019, ülesanne 1: Murdavaldise lihtsustamine ja väärtuse arvutamine
Lihtsusta avaldis (x−x22+1−x1):x−14−x2 ja arvuta selle avaldise väärtus, kui x=3.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2019, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Alusta sulgudest. Too esimese murru nimetajas x sulgude ette, siis näed, mis on murdude ühine nimetaja.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tegurda esimese murru nimetaja
Tuleb avaldis lihtsustada ja siis arvutada selle väärtus. Tehete järjekorra järgi alustame sulgudest. Sulgudes on kahe murru summa. Ühise nimetaja leidmiseks tegurdame kõigepealt esimese murru nimetaja.
Mõlemas liikmes on tegur x. Toome selle sulgude ette.
x−x2=x(1−x)
x−x2=x⋅1−x⋅x, seega jääb pärast x-i sulgude ette toomist sulgudesse 1−x. Nüüd on näha, et teise murru nimetaja 1−x on esimese murru nimetaja üks tegur.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Vii sulgudes olevad murrud ühisele nimetajale
Asendame esimese murru nimetaja tegurdatud kujuga.
x−x22+1−x1=x(1−x)2+1−x1
Ühine nimetaja on x(1−x). Teise murru nimetajas puudub tegur x, seega laiendame teist murdu x-ga.
x(1−x)2+1−x1=x(1−x)2+x(1−x)1⋅x
Liidame lugejad, nimetaja jääb samaks.
x(1−x)2+x(1−x)x=x(1−x)2+x
Murru laiendamisel korrutame lugejat ja nimetajat sama avaldisega, murru väärtus ei muutu. Sama nimetajaga murdude liitmisel liidetakse lugejad.
Tegur 2+x on nii lugejas kui ka nimetajas. Taandame selle.
x(1−x)(2−x)(2+x)(2+x)(x−1)=x(1−x)(2−x)x−1
Avaldised x−1 ja 1−x on vastandarvud, sest x−1=−(1−x). Nende jagatis on −1.
1−xx−1=1−x−(1−x)=−1
Pärast taandamist jääb lugejasse −1.
x(1−x)(2−x)x−1=x(2−x)−1
Viime miinuse nimetajasse: −(2−x)=x−2.
x(2−x)−1=−x(2−x)1=x(x−2)1
Taandada saab ainult tegureid. Vastandarvude jagatis on alati −1, seega miinusmärk ei kao, vaid liigub nimetajasse. Esialgsel avaldisel on mõte, kui x=0, x=1, x=2 ja x=−2.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Arvuta avaldise väärtus, kui x = 3
Väärtuse arvutame lihtsustatud avaldisest, sest nii on arvutamist vähem.
Asendame lihtsustatud avaldisse x=3.
x(x−2)1=3⋅(3−2)1=3⋅11=31
Kontrolliks asendame x=3 ka esialgsesse avaldisse. Arvutame kõigepealt sulgudes olevad murrud.
3−322+1−31=−62+−21=−62−63=−65
Arvutame jagaja.
3−14−32=2−5=−25
Jagame: korrutame jagaja pöördarvuga. Tulemus on sama mis lihtsustatud avaldisest.
(−65):(−25)=(−65)⋅(−52)=3010=31
Kui esialgne avaldis annab sama tulemuse, on lihtsustamine suure tõenäosusega õige. Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on x(x−2)1 ning selle väärtus, kui x=3, on 31.