Põhikooli lõpueksam 2019, ülesanne 2: Lineaarvõrrand ja ruutvõrrand
Lahenda võrrandid
1)(2x+1)2−4x(x−1)=−15;
2)3(y−2)2=2y−4.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2019, ülesanne 2
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ava mõlemas võrrandis sulud summa või vahe ruudu valemiga. Teises võrrandis korruta enne mõlemat poolt arvuga 3, et murd kaoks.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Ava sulud
Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrrand (2x+1)2−4x(x−1)=−15. Avame kõigepealt sulud.
Esimene liige on summa ruut. Kasutame summa ruudu valemit, kus esimene liige on 2x ja teine liige 1.
(2x+1)2=(2x)2+2⋅2x⋅1+12=4x2+4x+1
Teises liikmes korrutame sulgude iga liiget arvuga −4x.
−4x(x−1)=−4x⋅x−4x⋅(−1)=−4x2+4x
Kirjutame võrrandi uuesti, nüüd ilma sulgudeta.
4x2+4x+1−4x2+4x=−15
Summa ruudu valem: (a+b)2=a2+2ab+b2. Pane tähele, et (2x)2=4x2 ja et miinus sulgude ees muudab märgi: −4x⋅(−1)=+4x.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koonda ja lahenda lineaarvõrrand
Koondame sarnased liikmed: 4x2−4x2=0 ja 4x+4x=8x. Ruutliiget ei jää, võrrand on lineaarne.
8x+1=−15
Viime arvu 1 paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
8x=−15−1
Arvutame paremal. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 8.
8x=−16:8
Vasakule jääb x ja paremale −16:8.
x=8−16=−2
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Kontrolli lahendit x = −2
Ülesanne kontrolli ei nõua, aga see on kiire. Arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=−2. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
vp=(2⋅(−2)+1)2−4⋅(−2)⋅(−2−1)=(−3)2−24=9−24=−15
Võrrandi parem pool on arv −15.
pp=−15
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x=−2 on võrrandi lahend.
−15=−15 ehk vp=pp
−4⋅(−2)⋅(−3)=8⋅(−3)=−24: kolme negatiivse teguri korrutis on negatiivne.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Vabane murrust
Teises küsimuses on võrrand, mille vasakul pool on murd. Vabaneme kõigepealt murrust.
Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga 3.
3(y−2)2=2y−4⋅3
Vasakul kaob nimetaja. Paremal korrutame mõlemat liiget arvuga 3.
(y−2)2=3⋅2y−3⋅4
Arvutame paremal korrutised.
(y−2)2=6y−12
Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada sama arvuga (mis ei ole null), jäävad lahendid samaks.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Ava sulud ja vii kõik liikmed vasakule
Kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on y ja teine liige 2.
(y−2)2=y2−2⋅y⋅2+22=y2−4y+4
Kirjutame võrrandi uuesti, nüüd ilma sulgudeta.
y2−4y+4=6y−12
Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
y2−4y+4−6y+12=0
Koondame sarnased liikmed: −4y−6y=−10y ja 4+12=16.
y2−10y+16=0
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a=1,b=−10,c=16
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
y1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
y1;2=2⋅1−(−10)±(−10)2−4⋅1⋅16=210±100−64
Arvutame juure all oleva avaldise ja võtame ruutjuure.
210±100−64=210±36=210±6
Esimese lahendi saame plussmärgiga.
y1=210+6=216=8
Teise lahendi saame miinusmärgiga.
y2=210−6=24=2
Sama tulemuse saab ka tegurdades: (y−2)2=6(y−2) ehk (y−2)(y−2−6)=0, kust y=2 või y=8. Võrrandit ei tohi teguriga y−2 läbi jagada, sest nii kaoks lahend y=2.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Kontrolli lahendeid
Kontrollime mõlemat lahendit esialgses võrrandis.
Arvutame vasaku ja parema poole, kui y=8.
vp=3(8−2)2=336=12,pp=2⋅8−4=12
Arvutame vasaku ja parema poole, kui y=2.
vp=3(2−2)2=30=0,pp=2⋅2−4=0
Mõlemal juhul on vasak ja parem pool võrdsed, seega sobivad mõlemad lahendid.
12=12,0=0 ehk vp=pp
VASTUS
1) Võrrandi (2x+1)2−4x(x−1)=−15 lahend on x=−2. 2) Võrrandi 3(y−2)2=2y−4 lahendid on y1=8 ja y2=2.