Põhikooli lõpueksam 2021, ülesanne 3: Kohviku põranda ümbermõõt ja pindala
Kohviku põranda saab jaotada kaheks osaks: täisnurkseks trapetsiks ja poolringiks (vt joonist). Trapetsi alused on 9 m ja 13,5 m ning lühem haar on 6 m. Kohviku põrand vajab uuendamist ning selleks on tarvis teada selle ümbermõõtu ja pindala. Arvuta kohviku põranda ümbermõõt täpsusega 1 m ja pindala täpsusega 1 m².
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2021, ülesanne 3
Ülesande joonis
Valemikaart: ringjoon ja ring
C=2πr
S=πr2
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Poolringi läbimõõt on trapetsi lühem haar. Trapetsi pikema haara leidmiseks tõmba lühema aluse otsast kõrgus, siis tekib täisnurkne kolmnurk.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Kanna andmed joonisele
Täisnurkses trapetsis on üks haar alustega risti ja see on lühem haar, 6 m. Joonisel on see katkendjoon, mis eraldab trapetsit poolringist. Lühem alus on 9 m ja pikem alus 13,5 m. Märgime need mõõdud ja täisnurgad joonisele.
9 m13,5 m6 m
Alustega risti olev haar on alati lühem kui kaldu olev haar, sest ristlõik on lühim tee kahe paralleelse sirge vahel. See haar on ühtlasi trapetsi kõrgus ja poolringi läbimõõt.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia poolringi raadius
Kõigepealt leiame põranda ümbermõõdu. Selleks on vaja poolringi kaare pikkust, mille jaoks on omakorda vaja raadiust. Poolringi läbimõõt d on trapetsi lühem haar.
Raadius on pool läbimõõdust. Asendame läbimõõdu d=6 m.
r=2d=26=3 (m)
9 m13,5 m6 mr=3 m
Poolring on joonestatud trapetsi lühemale haarale, seega selle läbimõõt on 6 m. Raadius on pool läbimõõdust.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia poolringi kaare pikkus
Poolringi kaar on pool ringjoonest. Kirjutame ringjoone pikkuse valemi C=2πr ja jagame selle kahega.
l=22πr=πr
Asendame raadiuse r=3 m ja arvutame taskuarvutiga.
πr=π⋅3=3π≈9,42 (m)
9 m13,5 m6 mr=3 m≈9,42 m
Poolringi kaar on pool ringjoonest. Läbimõõtu siia ei liideta, sest see jääb põranda sisse ega kuulu ümbermõõdu hulka.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia aluste vahe
Ümbermõõdu jaoks on vaja ka trapetsi pikemat haara. Tõmbame lühema aluse otsast kõrguse pikemale alusele. Tekib täisnurkne kolmnurk, mille üks kaatet on trapetsi kõrgus 6 m ja teine kaatet on aluste vahe.
Kõrgus lõikab pikemast alusest ära lühema alusega võrdse osa. Ülejäänud osa on aluste vahe.
13,5−9=4,5 (m)
9 m13,5 m6 m≈9,42 m6 m4,5 m
Kõrgus lõikab trapetsist ära ristküliku külgedega 9 m ja 6 m. Pikemast alusest jääb üle 13,5−9=4,5 meetrit.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Leia pikem haar Pythagorase teoreemiga
Pikem haar c on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Kirjutame Pythagorase teoreemi.
c2=a2+b2
Asendame kaatetid a=6 m ja b=4,5 m ning arvutame ruudud.
c2=62+4,52=36+20,25=56,25
Võtame ruutjuure, sest 7,5⋅7,5=56,25.
c=56,25=7,5 (m)
9 m13,5 m6 m≈9,42 m6 m4,5 m7,5 m
Pikem haar on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, kaatetid on 6 m ja 4,5 m.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Arvuta ümbermõõt
Ümbermõõdu moodustavad lühem alus, pikem haar, pikem alus ja poolringi kaar.
Kirjutame, millistest osadest ümbermõõt koosneb.
P=lu¨hem alus+pikem haar+pikem alus+kaar
Asendame leitud pikkused, liidame ja ümardame täisarvuni.
P=9+7,5+13,5+9,42=39,42≈39 (m)
9 m13,5 m6 m≈9,42 m7,5 mP≈39 m
Ümbermõõt on kujundi välisjoone pikkus. Lühem haar (6 m) jääb trapetsi ja poolringi vahele kujundi sisse, seega seda ei liideta. Täpne väärtus on 30+3π.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Arvuta poolringi pindala
Nüüd leiame põranda pindala. Põrand koosneb poolringist ja trapetsist, seega arvutame mõlema pindala ja liidame need. Alustame poolringist.
Poolringi pindala on pool ringi pindalast. Kirjutame ringi pindala valemi S=πr2 ja jagame selle kahega.
S1=2πr2
Asendame raadiuse r=3 m ja arvutame taskuarvutiga.
S1=2π⋅32=29π=4,5π≈14,14(m2)
9 m13,5 m6 m7,5 mS1≈14,14 m2
Poolringi pindala on pool sama raadiusega ringi pindalast.
8Samm 8Peidetud
8
Samm 8: Arvuta trapetsi pindala
Kirjutame trapetsi pindala valemi. Siin a ja b on alused ning kõrgus h on alustega risti olev haar.
S2=2a+b⋅h
Asendame alused a=9 m, b=13,5 m ja kõrguse h=6 m. Liidame alused.
S2=29+13,5⋅6=222,5⋅6
Jagame kahega ja korrutame kõrgusega.
222,5⋅6=11,25⋅6=67,5(m2)
9 m13,5 m6 m7,5 mS1≈14,14 m2S2=67,5 m2
Trapetsi pindala on aluste poolsumma ja kõrguse korrutis. Kõrgus on lühem haar 6 m. Sama tulemuse saab tükeldades: ristkülik 9⋅6=54 ja kolmnurk 24,5⋅6=13,5.
9Samm 9Peidetud
9
Samm 9: Liida pindalad
Põranda pindala on poolringi ja trapetsi pindalade summa. Liidame ja ümardame täisarvuni.
S=S1+S2=14,14+67,5=81,64≈82(m2)
9 m13,5 m6 m7,5 mS1≈14,14 m2S2=67,5 m2
VASTUS
Kohviku põranda ümbermõõt on ligikaudu 39 m ja pindala ligikaudu 82 m2.