Põhikooli lõpueksam 2021, ülesanne 4: Õhupallide ost ja tõenäosus
Kalev ja Malle ostsid peosaali kaunistamiseks siniseid ja valgeid õhupalle. Üks sinine õhupall maksis 35 senti ja üks valge õhupall maksis 30 senti.Kalev ostis 35 sinist ja 35 valget õhupalli.Malle ostis 20 õhupalli ja maksis kokku 6 eurot ja 25 senti.
1.Kui palju maksis Kalev õhupallide eest?
2.Mitu valget ja mitu sinist õhupalli ostis Malle?
3.Malle ja Kalev panid kõik ostetud õhupallid karpi. Palle hakati sealt puhumiseks välja võtma juhuslikus järjekorras. Kui suur oli tõenäosus, et esimene karbist võetud õhupall oli sinist värvi?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2021, ülesanne 4
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Arvuta sentides, siis pole kümnendmurde vaja. Malle ostu jaoks tähista siniste pallide arv x-ga ja valgete arv y-ga ning koosta kaks võrrandit, üks pallide arvu ja teine hinna kohta.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta Kalevi ostu maksumus
Esimeses küsimuses tuleb leida, kui palju maksis Kalev. Ta ostis 35 sinist palli hinnaga 35 senti ja 35 valget palli hinnaga 30 senti.
Korrutame iga värvi pallide arvu ühe palli hinnaga ja liidame saadud summad.
35⋅35+35⋅30=1225+1050=2275 (senti)
Üks euro on 100 senti. Teisendame sendid eurodeks ja sentideks.
2275 senti=22,75 eurot=22 eurot ja 75 senti
Arvutame sentides, siis pole kümnendmurde vaja. Et 1 euro on 100 senti, on 2275 senti 2275:100=22,75 eurot ehk 22 eurot ja 75 senti.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Tähista tundmatud ja koosta võrrandisüsteem
Teises küsimuses tuleb leida, mitu sinist ja mitu valget õhupalli ostis Malle. Olgu Malle ostetud siniste õhupallide arv x ja valgete õhupallide arv y.
Hinnad on sentides, seega teisendame ka Malle makstud summa sentideks.
6 eurot 25 senti=600 senti+25 senti=625 senti
Esimene võrrand: palle oli kokku 20.
x+y=20
Teine võrrand: x sinist palli maksavad 35x senti ja y valget palli 30y senti, kokku 625 senti.
35x+30y=625
Kirjutame mõlemad võrrandid võrrandisüsteemiks.
{x+y=2035x+30y=625
Esimene võrrand ütleb, et palle oli kokku 20. Teine võrrand ütleb, et pallide eest maksti kokku 625 senti. Hinnad on sentides, seega peab ka summa olema sentides.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Avalda y ja asenda teise võrrandisse
Lahendame süsteemi asendusvõttega.
Avaldame esimesest võrrandist y: viime x paremale poole, selle märk muutub.
y=20−x
Asendame y=20−x teise võrrandisse. Avaldis läheb sulgudesse, sest sellega korrutatakse.
35x+30(20−x)=625
Avame sulud: korrutame arvu 30 sulgude mõlema liikmega.
35x+600−30x=625
Esimesest võrrandist on lihtne avaldada y. Asendame selle teise võrrandisse ja saame ühe tundmatuga võrrandi.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Lahenda võrrand
Koondame vasakul pool x-iga liikmed (35x−30x=5x) ja viime arvu 600 paremale poole.
5x=625−600
Arvutame paremal pool. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 5.
5x=25:5
Saame siniste pallide arvu.
x=525=5
Valgete pallide arvu saame avaldisest y=20−x.
y=20−5=15
Sama tulemuse saab ka arutledes. Kui kõik 20 palli oleksid valged, maksaksid need 20⋅30=600 senti. Malle maksis 25 senti rohkem ja iga sinine pall on valgest 5 senti kallim, seega on siniseid palle 25:5=5.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Kontrolli lahendit
Kontrollime, kas x=5 ja y=15 rahuldavad mõlemat võrrandit.
Arvutame esimese võrrandi x+y=20 vasaku poole.
vp=5+15=20
Esimese võrrandi parem pool on 20.
pp=20
Vasak ja parem pool on võrdsed.
20=20 ehk vp=pp
Arvutame teise võrrandi 35x+30y=625 vasaku poole.
vp=35⋅5+30⋅15=175+450=625
Teise võrrandi parem pool on 625.
pp=625
Ka teise võrrandi pooled on võrdsed, seega lahend sobib.
625=625 ehk vp=pp
Viis sinist ja viisteist valget palli on kokku 20 palli ja maksavad 6 eurot ja 25 senti, nagu ülesandes.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Loe kokku karbis olevad pallid
Kolmandas küsimuses tuleb leida tõenäosus, et esimene karbist võetud pall on sinine. Karbis on nii Kalevi kui ka Malle pallid. Loeme kokku sinised pallid ja kõik pallid.
Siniseid palle ostis Kalev 35 ja Malle 5.
35+5=40 (sinist palli)
Kalev ostis 35 sinist ja 35 valget palli, Malle 20 palli.
35+35+20=90 (palli kokku)
Karbis on nii Kalevi kui ka Malle pallid. Siniseid on Kalevil 35 ja Mallel 5. Kõiki palle on Kalevil 70 ja Mallel 20.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 3Samm 7: Arvuta tõenäosus
Kirjutame tõenäosuse valemi: k on soodsate võimaluste arv ja n kõigi võimaluste arv.
P=nk
Soodsaid võimalusi on sama palju kui siniseid palle (k=40) ja kõiki võimalusi sama palju kui palle karbis (n=90). Taandame murdu arvuga 10.
P=9040=94≈0,44
Iga pall võib tulla esimesena võrdse tõenäosusega. Soodne on see, kui esimene pall on sinine, ja selliseid palle on 40.
VASTUS
1) Kalev maksis õhupallide eest 22 eurot ja 75 senti. 2) Malle ostis 15 valget ja 5 sinist õhupalli. 3) Tõenäosus, et esimene karbist võetud õhupall oli sinist värvi, on 94.