NB! Lahendite õigsust kirjalikult kontrollida ei ole vaja!
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2021, ülesanne 5
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses osas ava sulud summa ruudu valemiga ja vii kõik liikmed ühele poole. Teises osas vabane kõigepealt murdudest, korrutades teise võrrandi mõlemat poolt arvuga 15.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Ava sulud summa ruudu valemiga
Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrrand. Vasakul pool on summa ruut, mille avame abivalemiga.
Kasutame summa ruudu valemit (a+b)2=a2+2ab+b2, kus a=2x ja b=1.
(2x+1)2=(2x)2+2⋅2x⋅1+12=4x2+4x+1
Kirjutame võrrandi uuesti, nüüd on vasakul avatud sulgudega avaldis.
4x2+4x+1=7x+2
Summa ruudu valem on (a+b)2=a2+2ab+b2, kus a=2x ja b=1. Keskmine liige 2⋅2x⋅1=4x ei tohi ära ununeda ning (2x)2=4x2, mitte 2x2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Vii kõik liikmed vasakule ja koonda
Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikmete märk muutub.
4x2+4x+1−7x−2=0
Koondame sarnased liikmed: 4x−7x=−3x ja 1−2=−1.
4x2−3x−1=0
Ruutvõrrandi lahendivalemit saab kasutada siis, kui võrrandi paremal pool on null. Seepärast viime kõik liikmed vasakule ja koondame.
Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure: 25=5.
83±9+16=83±25=83±5
Esimese lahendi saame miinusmärgiga. Taandame murru ja kirjutame selle kümnendmurruna.
x1=83−5=8−2=−41=−0,25
Teise lahendi saame plussmärgiga.
x2=83+5=88=1
Lahendivalemis on lugeja alguses −b=−(−3)=3. Juure all on −4⋅4⋅(−1)=+16, sest kahe negatiivse teguri korrutis on positiivne.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Avalda esimesest võrrandist y
Teises küsimuses tuleb lahendada võrrandisüsteem. Kasutame asendusvõtet: avaldame esimesest võrrandist y ja asendame selle teise võrrandisse.
Kirjutame välja süsteemi esimese võrrandi.
2x+1=y−3
Vahetame pooled, et y oleks vasakul, ja viime arvu −3 paremale poole. Selle märk muutub.
y=2x+1+3
Liidame arvud: 1+3=4.
y=2x+4
Esimeses võrrandis on y kordaja 1, seega on y sealt kõige lihtsam avaldada.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Vabane teises võrrandis murdudest
Teises võrrandis on nimetajad 3 ja 5, nende vähim ühiskordne on 15. Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga 15.
31x+2=51y−3⋅15
Korrutame arvuga 15 iga liiget, ka arve 2 ja 3.
15⋅31x+15⋅2=15⋅51y−15⋅3
Arvutame korrutised: 15:3=5 ja 15:5=3.
5x+30=3y−45
Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada sama arvuga, jäävad lahendid samaks. Korrutada tuleb iga liiget: 31x⋅15=5x, 2⋅15=30, 51y⋅15=3y ja 3⋅15=45.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Asenda y ja lahenda
Asendame y kohale avaldise 2x+4. Avaldis läheb sulgudesse, sest seda korrutatakse arvuga 3.
5x+30=3(2x+4)−45
Avame sulud: korrutame arvu 3 sulgude mõlema liikmega.
5x+30=6x+12−45
Koondame paremal pool arvud: 12−45=−33.
5x+30=6x−33
Viime x-iga liikmed paremale ja arvud vasakule poole. Teisele poole viidud liikmete märk muutub.
30+33=6x−5x
Arvutame mõlemal poolel.
63=x
Kirjutame x-i vasakule poole.
x=63
Pärast asendamist on tegu ühe tundmatuga lineaarvõrrandiga. x-iga liikmed viisime paremale, sest seal on x-i kordaja suurem ja nii jääb x-i ette plussmärk.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Leia y
Asendame x=63 avaldisse y=2x+4.
y=2⋅63+4=126+4=130
VASTUS
1) Võrrandi lahendid on x1=−0,25 ja x2=1. 2) Võrrandisüsteemi lahend on x=63 ja y=130.