Põhikooli lõpueksam 2021, ülesanne 6: Sirge, parabool ja kolmnurga pindala
1.Lineaarfunktsiooni y=3−x graafik lõikab x-telge punktis A ja y-telge punktis B.Joonesta antud koordinaattasandile selle lineaarfunktsiooni graafik ja märgi joonisele punktid A ja B.
2.Arvuta ruutfunktsiooni y=x2−4x+3 nullkohad ja parabooli haripunkti H koordinaadid.Joonesta samale koordinaattasandile selle ruutfunktsiooni graafik ja märgi joonisele punkt H.
3.Viiruta joonisel kolmnurk ABH ja arvuta selle kolmnurga pindala.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2021, ülesanne 6
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−3−2−11234567−3−2−1123450xy
Valemikaart: lineaarfunktsioon
y=ax+b
a on to˜us,b on algordinaat
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teljel asuva punkti üks koordinaat on null. Kolmnurga ABH küljed on kaldu, seepärast on pindala mugav leida nii, et joonistad kolmnurga ümber ristküliku ja lahutad üleliigsed täisnurksed kolmnurgad.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punktid A ja B
Esimeses küsimuses tuleb joonestada sirge y=3−x ja märkida selle lõikepunktid telgedega. Punkt A asub x-teljel, seal on y=0. Punkt B asub y-teljel, seal on x=0.
Punktis A on y=0. Asendame selle funktsiooni valemisse.
0=3−x
Viime x-i vasakule poole, selle märk muutub. Saame punkti A esimese koordinaadi.
x=3⇒A(3;0)
Punktis B on x=0. Asendame selle funktsiooni valemisse ja arvutame y.
y=3−0=3⇒B(0;3)
−3−2−11234567−3−2−1123450xyA(3;0)B(0;3)
Iga x-telje punkti y-koordinaat on null ja iga y-telje punkti x-koordinaat on null. Asendame selle nulli funktsiooni valemisse ja leiame teise koordinaadi.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta sirge väärtuste tabel
Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist, aga kolmas punkt on kontrolliks. Arvutame veel ühe punkti ja kanname kõik kolm tabelisse.
Arvutame y väärtuse, kui x=2.
y=3−2=1
Kanname punktid B, (2;1) ja A väärtuste tabelisse.
xy032130
−3−2−11234567−3−2−1123450xyA(3;0)B(0;3)
Funktsioon y=3−x on kujul y=ax+b, kus tõus a=−1 ja algordinaat b=3. Tõus −1 tähendab, et sirge langeb ühe ühiku võrra, kui liigume ühe ühiku paremale.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Joonesta sirge
Tõmbame läbi tabeli punktide sirge. Kõik kolm punkti jäävad samale sirgele, seega arvutus on õige.
y=3−x
−3−2−11234567−3−2−1123450xyy=3−xA(3;0)B(0;3)
Kui kolmas punkt ei jääks samale sirgele, oleks arvutuses või joonises viga.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia parabooli nullkohad
Teises küsimuses tuleb leida parabooli nullkohad ja haripunkt ning joonestada parabool. Nullkohas on funktsiooni väärtus null, seega lahendame võrrandi x2−4x+3=0.
Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga.
x2−4x+3=0
Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a=1,b=−4,c=3
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
x1;2=2⋅1−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅3=24±16−12
Lahutame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure: 4=2.
Punktid (0;3) ja (4;3) asuvad sümmeetriatelje x=2 suhtes peegelpildis. Punkt (0;3) on ühtlasi punkt B, seega lõikuvad sirge ja parabool punktides A ja B.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Joonesta parabool
Ühendame tabeli punktid sujuva kõverjoonega ja märgime haripunkti H.
Parabool on sujuv kõverjoon, mitte punkte ühendav murdjoon. Haripunkti juures on see ümar, mitte terav.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 3Samm 8: Viiruta kolmnurk ABH
Kolmandas küsimuses tuleb viirutada kolmnurk ABH ja arvutada selle pindala. Ühendame punktid A(3;0), B(0;3) ja H(2;−1) lõikudega ja viirutame tekkinud kolmnurga.
Külg AB on osa joonestatud sirgest. Küljed AH ja BH on sirglõigud, mitte parabooli kaared.
9Samm 9Peidetud
9
Küsimus 3Samm 9: Joonista kolmnurga ümber ristkülik
Kolmnurga küljed on telgede suhtes kaldu, seega ei saa alust ja kõrgust ruudustikult lugeda. Joonistame kolmnurga ümber ristküliku KLMB, mille küljed on telgedega paralleelsed: K(0;−1), L(3;−1), M(3;3) ja B(0;3).
Ristküliku laius on x-koordinaatide vahe ja kõrgus y-koordinaatide vahe.
Teine tee: kolmnurk ABH on ise täisnurkne täisnurgaga tipus A, sest AB2+AH2=18+2=20=BH2. Siis S=2AB⋅AH=232⋅2=3.
VASTUS
1) Sirge y=3−x lõikab x-telge punktis A(3;0) ja y-telge punktis B(0;3); graafik on joonisel. 2) Ruutfunktsiooni nullkohad on x1=1 ja x2=3 ning parabooli haripunkt on H(2;−1); graafik on joonisel. 3) Kolmnurk ABH on joonisel viirutatud ja selle pindala on 3 pindalaühikut.