Põhikooli lõpueksam 2021, ülesanne 7: Võrdse ruumalaga kuup ja risttahukas

Esimeses küsimuses tuleb leida kuubi serv $a$ ja risttahuka põhiservad. Kuubi serv on $a$ cm. Avaldame risttahuka põhiservad selle kaudu.

Üks põhiserv on kuubi servast $2$ korda pikem, seega korrutame serva arvuga $2$.

Teine põhiserv on kuubi servast $2$ cm võrra lühem, seega lahutame servast $2$.

Kuubi põhi on ruut küljega $a$. Ruudu pindala on külje ruut.

Risttahuka põhi on ristkülik külgedega $2a$ ja $a - 2$. Ristküliku pindala on külgede korrutis.

Risttahuka põhja pindala on kuubi põhja pindalast $21 \text{ cm}^2$ võrra suurem.

Liidame väiksemale pindalale ehk kuubi põhja pindalale $21$. Siis on pooled võrdsed.

Avame sulud: korrutame $2a$ sulgude mõlema liikmega.

Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikmete märk muutub.

Koondame sarnased liikmed: $2a^2 - a^2 = a^2$.

Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad. Kordaja $a$ tähistame siin $p$-ga, sest täht $a$ on juba kuubi serv.

Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi nende tähistega.

Asendame kordajad valemisse. Negatiivsed arvud paneme sulgudesse.

Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure: $\sqrt{100} = 10$.

Esimese lahendi saame plussmärgiga.

Teise lahendi saame miinusmärgiga.

Serva pikkus ei saa olla negatiivne, seega sobib ainult esimene lahend.

Asendame $a = 7$ esimese põhiserva avaldisse.

Asendame $a = 7$ teise põhiserva avaldisse.

Kontrollime võrrandit $2a(a - 2) = a^2 + 21$. Arvutame vasaku poole, kui $a = 7$.

Arvutame parema poole, kui $a = 7$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega risttahuka põhja pindala on tõesti $21 \text{ cm}^2$ võrra suurem.

Teises küsimuses tuleb leida risttahuka kõrgus. Kuubil ja risttahukal on sama ruumala, seega arvutame kõigepealt kuubi ruumala.

Kuubi ruumala on serva kuup. Asendame $a = 7$ cm.

Risttahukas on püstprisma. Selle ruumala on põhja pindala ja kõrguse korrutis. Olgu kõrgus $h$.

Kirjutame püstprisma ruumala valemi.

Põhja pindala on $14 \cdot 5$ ja ruumala on sama mis kuubil, $343 \text{ cm}^3$.

Korrutame põhiservad. Et $h$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $70$.

Jagame ja saame risttahuka kõrguse.

Kontrollime, et risttahuka ruumala on sama mis kuubil.