Põhikooli lõpueksam 2022, ülesanne 1: Ristküliku diagonaal ja ringjoon
Ristküliku ABCDlähisküljed on AB=240 mm ja AD=1 dm.
1.Tähista joonisel ristküliku ABCD tipud A, B, C ja D ning joonesta ristküliku tipust A lähtuv diagonaal.
2.Ristküliku diagonaal on ringjoone diameetriks. Joonesta see ringjoon.
3.Arvuta ristküliku diagonaali pikkus sentimeetrites.
4.Arvuta ristküliku pindala ja ringjoone pikkus.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2022, ülesanne 1
Ülesande joonis
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: ringjoon ja ring
C=2πr
S=πr2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teisenda mõlemad küljed sentimeetriteks. Diagonaal jaotab ristküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille kaatetid on ristküliku küljed.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tähista ristküliku tipud
Esimeses küsimuses tuleb tähistada tipud ja joonestada diagonaal. Kõigepealt selgitame välja, kumb külg on pikem. Tipud tähistatakse järjest mööda ristküliku külgi.
Võrdleme külgi samas ühikus: 1 dm =100 mm. Külg AB on pikem, seega on see joonisel pikem külg.
AB=240 mm>AD=100 mm
ABCD
Lähisküljed on küljed, millel on ühine tipp. Külgedel AB ja AD on ühine tipp A. Tähed A, B, C, D käivad ringiratast: A kõrval on B ja D, tipu A vastas on C.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Joonesta tipust A lähtuv diagonaal
Diagonaal ühendab ristküliku vastastippe. Tipu A vastastipp on C, seega joonestame lõigu AC.
ABCD
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Joonesta ringjoon
Teises küsimuses tuleb joonestada ringjoon, mille diameeter on diagonaal AC. Ringjoone keskpunkt O on diagonaali AC keskpunkt ja raadius on pool diagonaalist. Paneme sirkli teraviku punkti O ja joonestame ringjoone läbi punkti A.
OABCD
Ristküliku diagonaalid on võrdse pikkusega ja poolitavad teineteist. Seetõttu on punkt O kõigist neljast tipust sama kaugel ja ringjoon läbib ristküliku kõiki tippe. Diagonaali keskpunkti leiad kõige lihtsamalt, kui joonestad abijoonena ka teise diagonaali BD: keskpunkt on diagonaalide lõikepunkt.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Teisenda küljed sentimeetriteks
Kolmandas küsimuses tuleb arvutada diagonaali pikkus sentimeetrites. Kõigepealt teisendame mõlemad küljed sentimeetriteks.
Ühes sentimeetris on 10 millimeetrit, seega jagame arvuga 10.
AB=240 mm=240:10 cm=24 cm
Ühes detsimeetris on 10 sentimeetrit, seega korrutame arvuga 10.
AD=1 dm=1⋅10 cm=10 cm
O24 cm10 cmABCD
Enne arvutamist peavad mõlemad küljed olema samas ühikus. Küsitakse sentimeetreid, seega teisendame kohe sentimeetriteks.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Vaatle täisnurkset kolmnurka ABC
Diagonaal AC jaotab ristküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Kolmnurgas ABC on täisnurk tipus B, kaatetid on AB=24 cm ja BC=AD=10 cm ning diagonaal AC on hüpotenuus.
Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurga ABC jaoks.
AC2=AB2+BC2
O24 cm10 cmABCD
Ristküliku vastasküljed on võrdsed, seega BC=AD. Ristküliku nurk B on täisnurk ja selle vastas olev külg AC on hüpotenuus.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta diagonaal
Asendame kaatetid AB=24 cm ja BC=10 cm ning arvutame ruudud.
AC2=242+102=576+100=676
Võtame ruutjuure, sest 26⋅26=676.
AC=676=26 (cm)
26 cmO24 cm10 cmABCD
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 4Samm 7: Arvuta ristküliku pindala
Neljandas küsimuses tuleb arvutada ristküliku pindala ja ringjoone pikkus. Alustame pindalast.
Ristküliku pindala on lähiskülgede korrutis.
S=ab
Asendame küljed sentimeetrites: a=24 cm ja b=10 cm.
S=24⋅10=240(cm2)
26 cmO24 cm10 cmS=240 cm2ABCD
Küljed peavad olema samas ühikus. Sentimeetrites antud külgede korral on pindala ruutsentimeetrites.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 4Samm 8: Arvuta ringjoone pikkus
Ringjoone diameeter on diagonaal AC=26 cm.
Raadius on pool diameetrist.
r=2d=226=13 (cm)
Kirjutame ringjoone pikkuse valemi.
C=2πr
Asendame raadiuse r=13 cm ja arvutame taskuarvutiga.
C=2⋅π⋅13=26π≈81,7 (cm)
26 cmO24 cm10 cmS=240 cm2C≈81,7 cmABCD
Valemis C=2πr on 2r diameeter, seega võib arvutada ka C=πd=π⋅26=26π cm. Täpne vastus on 26π cm.
VASTUS
1) ja 2) Tipud, diagonaal AC ja ringjoon on joonisel. 3) Ristküliku diagonaali pikkus on 26 cm. 4) Ristküliku pindala on 240 cm2 ja ringjoone pikkus on 26π cm ehk ligikaudu 81,7 cm.