Põhikooli lõpueksam 2026, ülesanne 7: Kolm järjestikust paarisarvu
Kui kolme järjestikuse paarisarvuruutude summat vähendada 10 võrra, siis saadakse arv 2026. Leia kõik sellised kolm paarisarvu.
Kirjalik kontroll pole kohustuslik.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2026, ülesanne 7
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Järjestikused paarisarvud erinevad teineteisest kahe võrra. Kui väikseim on x, siis järgmised on x+2 ja x+4.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tähista arvud
Järjestikused paarisarvud erinevad teineteisest kahe võrra, näiteks 4, 6 ja 8.
Tähistame väikseima arvu tähega x. Järgmine paarisarv on 2 võrra suurem ja kolmas veel 2 võrra suurem.
x,x+2,x+4
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Koosta võrrand
Kirjutame kolme arvu ruutude summa.
x2+(x+2)2+(x+4)2
Ruutude summat vähendatakse 10 võrra ja saadakse 2026. Kirjutame võrrandi.
x2+(x+2)2+(x+4)2−10=2026
„Vähendada 10 võrra“ tähendab, et summast lahutatakse 10.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Ava sulud summa ruudu valemiga
Kasutame summa ruudu valemit, kus esimene liige on x ja teine liige 2.
(x+2)2=x2+2⋅x⋅2+22=x2+4x+4
Samamoodi, kui teine liige on 4.
(x+4)2=x2+2⋅x⋅4+42=x2+8x+16
Asendame ruudud võrrandisse.
x2+x2+4x+4+x2+8x+16−10=2026
Summa ruudu valem: (a+b)2=a2+2ab+b2. Keskmine liige ehk kahekordne korrutis ei tohi ära jääda.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Koonda ja vii võrrand normaalkujule
Koondame sarnased liikmed: x2+x2+x2=3x2, 4x+8x=12x ja 4+16−10=10.
3x2+12x+10=2026
Viime arvu 2026 vasakule poole, kus selle märk muutub.
3x2+12x+10−2026=0
Arvutame 10−2026=−2016. Kõik kordajad jaguvad kolmega, seega jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 3.
3x2+12x−2016=0:3
Saame lihtsama ruutvõrrandi.
x2+4x−672=0
Kolmega jagamine ei muuda lahendeid, aga arvud lahendivalemis jäävad väiksemaks.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a=1,b=4,c=−672
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
x1;2=2⋅1−4±42−4⋅1⋅(−672)=2−4±16+2688
Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure: 522=2704.
2−4±16+2688=2−4±2704=2−4±52
Esimese lahendi saame miinusmärgiga.
x1=2−4−52=2−56=−28
Teise lahendi saame plussmärgiga.
x2=2−4+52=248=24
Juure all on −4⋅1⋅(−672)=+2688. Lühem tee: kui tähistada arvud x−2, x ja x+2, siis lineaarliikmed koonduvad ja jääb 3x2=2028, kust x2=676 ja x=±26 (keskmine arv).
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kirjuta välja mõlemad arvukolmikud
Mõlemad lahendid on paarisarvud, seega sobivad mõlemad. Igast lahendist saame ühe kolmiku: x, x+2 ja x+4.
Kui x=−28, siis on arvud −28, −28+2 ja −28+4.
−28,−26,−24
Kui x=24, siis on arvud 24, 24+2 ja 24+4.
24,26,28
Ülesanne küsib kõiki sobivaid kolmikuid, seega tuleb esitada mõlemad.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Kontrolli teksti järgi
Kirjalik kontroll ei ole kohustuslik, aga see on lühike.
Arvutame kolmiku 24, 26, 28 ruutude summa ja lahutame 10.
242+262+282−10=576+676+784−10=2026
Negatiivsete arvude ruudud on samad, seega annab ka teine kolmik sama tulemuse.
(−28)2+(−26)2+(−24)2−10=784+676+576−10=2026
Mõlemal juhul saame arvu 2026, nagu ülesandes, seega mõlemad kolmikud sobivad.
2026=2026
VASTUS
Sobivaid paarisarvude kolmikuid on kaks: −28, −26, −24 ning 24, 26, 28.