Kitsas riigieksam 2015, ülesanne 7: Juhani võrdhaarne kolmnurk ja kõrgus
Õpilane Juhan joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil võrdhaarse kolmnurga ABC. Kolmnurga haar BC oli pikkusega 10 cm ja tipunurk ACB oli 64∘.Juhan joonestas haarale BC kõrguse, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD.Juhanile näis, et kolmnurga ABD pindala oli 2 korda suurem kui kolmnurga ACD pindala.Arvutage kolmnurkade ABD ja ACD pindaladning otsustage, kas Juhanil oli õigus.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2015, ülesanne 7
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kõrgus AD jagab kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Täisnurkses kolmnurgas ACD on hüpotenuus AC=10 cm (teine haar) ja teravnurk 64∘, seega saad kaatetid siinuse ja koosinuse abil.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tee joonis
Tipunurk ACB on haarade vaheline nurk, seega on kolmnurga tipp C ja haarad CA ning CB on võrdsed.
Võrdhaarse kolmnurga haarad on võrdsed.
CA=CB=10 cm
Tipunurk on haarade vahel.
∠ACB=64∘
10 cmBC=10 cm64∘ABC
Kolmnurga teised nurgad on võrdsed: 2180∘−64∘=58∘. Kuna ka nurk B on terav, jääb kõrguse alguspunkt D haarale BC.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia kõrgus AD
Kõrgus AD on risti haaraga BC, seega kolmnurk ACD on täisnurkne (täisnurk tipus D). Selle hüpotenuus on AC=10 cm ja kõrgus AD on nurga C vastaskaatet.
Vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe on siinus.
sin64∘=ACAD
Korrutame mõlemaid pooli hüpotenuusiga AC=10.
AD=AC⋅sin64∘=10⋅sin64∘≈10⋅0,8988=8,988 cm
10 cmBC=10 cm64∘≈8,988ABCD
Taskuarvutil peab olema kraadirežiim (DEG): sin64∘≈0,89879. Kõrgus AD on mõlema väikese kolmnurga ühine kõrgus, seepärast leiame selle kõigepealt.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia lõik CD
Samas täisnurkses kolmnurgas ACD on lõik CD nurga C lähiskaatet.
Lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe on koosinus.
cos64∘=ACCD
Korrutame mõlemaid pooli hüpotenuusiga AC=10.
CD=AC⋅cos64∘=10⋅cos64∘≈10⋅0,4384=4,384 cm
10 cm64∘≈8,988≈4,384ABCD
cos64∘≈0,43837.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia lõik BD
Punkt D jagab haara BC kaheks lõiguks, seega BD=BC−CD.
Lahutame haarast BC=10 cm lõigu CD.
BD=10−4,384=5,616 cm
10 cm64∘≈8,988≈4,384≈5,616ABCD
Kolmnurk ABD on samuti täisnurkne (täisnurk tipus D); selle kaatetid on BD ja kõrgus AD.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Arvuta pindalad
Mõlemad väikesed kolmnurgad on täisnurksed, seega on nende pindala kaatetite korrutis jagatud kahega. Kaatetid on alus (CD või BD) ja kõrgus AD.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
S=2a⋅h
Kolmnurgas ACD on alus CD≈4,384 cm ja kõrgus AD≈8,988 cm.
SACD=24,384⋅8,988≈19,7 cm2
Kolmnurgas ABD on alus BD≈5,616 cm ja sama kõrgus.
SABD=25,616⋅8,988≈25,2 cm2
10 cm64∘≈8,988≈4,384≈5,616S≈25,2S≈19,7ABCD
4,384⋅8,988≈39,40 ja 5,616⋅8,988≈50,48. Kontroll: kokku 19,70+25,24=44,94 cm², mis on kogu kolmnurga ABC pindala 21⋅10⋅10⋅sin64∘≈44,94 cm².
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kontrolli Juhani väidet
Juhani arvates oli kolmnurga ABD pindala 2 korda suurem. Jagame suurema pindala väiksemaga.
Leiame pindalade suhte.
SACDSABD≈19,725,2≈1,28
Suhe ei ole 2.
1,28=2
Seega Juhanil ei olnud õigus.
Juhanil ei olnud o˜igus
Kolmnurkadel on sama kõrgus AD, seega on pindalade suhe sama mis aluste suhe: CDBD=4,3845,616≈1,28. Kolmnurga ABD pindala on küll suurem, aga ainult umbes 1,28 korda.
VASTUS
Kolmnurga ABD pindala on ligikaudu 25,2 cm² ja kolmnurga ACD pindala ligikaudu 19,7 cm². Kolmnurga ABD pindala on ainult umbes 1,28 korda suurem kui kolmnurga ACD pindala, seega Juhanil ei olnud õigus.