Lai riigieksam 2023, ülesanne 3: Talverehvide mustrisügavus
Rehvitöökojas on müügil 12 kasutatud talverehvi, mis sobivad kliendi autole. Nendest rehvidest ühel on mustrisügavus 5 mm, kolmel 6 mm, kuuel 7 mm ja kahel 8 mm.
1.Arvutage nende 12 sobiva talverehvi mustrisügavuste aritmeetiline keskmine.
2.Mitmel viisil saab klient valida sobivate rehvide hulgast 4 ühesuguse mustrisügavusega rehvi?
3.Arvutage tõenäosus, et 4 rehvi juhuslikul valimisel nende 12 sobiva rehvi hulgast saab klient kõik niisugused rehvid, mille mustrisügavused on arvutatud aritmeetilisest keskmisest suuremad.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 63,2% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: aritmeetiline keskmine
x=nx1+x2+…+xn
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Keskmise arvutamisel arvesta, mitu rehvi igat mustrisügavust on. Neli ühesugust rehvi saab valida ainult sellest rühmast, kus on vähemalt neli rehvi. Tõenäosus on soodsate valikute arv jagatud kõigi valikute arvuga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta aritmeetiline keskmine
Esimeses küsimuses tuleb leida 12 rehvi mustrisügavuste keskmine. Iga mustrisügavus tuleb liita nii mitu korda, mitu sellist rehvi on.
Liidame kõigi 12 rehvi mustrisügavused ja jagame rehvide arvuga.
x=121⋅5+3⋅6+6⋅7+2⋅8
Arvutame lugeja ja jagame.
x=125+18+42+16=1281=6,75 mm
Rehvide arv mustrisügavuse järgirehve024615 mm36 mm67 mm28 mmmustrisügavus
Keskmise valemis on x1+x2+…+x12 kõigi 12 rehvi mustrisügavused. Kuus rehvi sügavusega 7 mm annavad summasse 6⋅7=42. Jagada tuleb rehvide arvuga 12, mitte erinevate sügavuste arvuga 4.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia rühm, kust saab valida
Teises küsimuses peavad kõik neli rehvi olema ühesuguse mustrisügavusega.
Vaatame, mitu rehvi igas rühmas on. Neli rehvi saab võtta ainult rühmast, kus on vähemalt neli rehvi.
5 mm:1,6 mm:3,7 mm:6,8 mm:2
Rehvide arv mustrisügavuse järgirehve024615 mm36 mm67 mm28 mmmustrisügavus
Rühmades 5 mm, 6 mm ja 8 mm on alla nelja rehvi, seega sobib ainult 7 mm rühm.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta valikute arv
Valime 6 rehvi hulgast 4; järjekord pole oluline, seega on see kombinatsioon.
C64=4!⋅2!6!=2⋅16⋅5=15
Kombinatsioonide arv Cnk näitab, mitmel viisil saab n elemendi hulgast valida k elementi, kui järjekord ei ole oluline. Pärast 4! taandamist jääb lugejasse 6⋅5.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Loe kokku keskmisest sügavamad rehvid
Kolmandas küsimuses peavad kõigi nelja rehvi mustrisügavused olema suuremad kui keskmine 6,75 mm.
Keskmisest suuremad on mustrisügavused 7 mm ja 8 mm.
6+2=8
Rehvide arv mustrisügavuse järgirehve024615 mm36 mm67 mm28 mmmustrisügavus
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta tõenäosus
Kõik võimalused: 12 rehvi hulgast valitakse 4.
n=C124=4⋅3⋅2⋅112⋅11⋅10⋅9=495
Soodsad võimalused: kõik 4 rehvi valitakse nende 8 rehvi hulgast.
k=C84=4⋅3⋅2⋅18⋅7⋅6⋅5=70
Jagame soodsate võimaluste arvu kõigi võimaluste arvuga ja taandame arvuga 5.
P=49570=9914≈0,141
Iga nelja rehvi valik on võrdvõimalik, seega sobib klassikaline tõenäosus. Sama tulemuse saab rehve ükshaaval valides: 128⋅117⋅106⋅95=9914.
VASTUS
1) Mustrisügavuste aritmeetiline keskmine on 6,75 mm. 2) Neli ühesuguse mustrisügavusega rehvi saab klient valida 15 erineval viisil. 3) Tõenäosus, et kõik neli rehvi on keskmisest suurema mustrisügavusega, on 9914≈0,141.