Lai riigieksam 2024, ülesanne 8: Ringjoone kõõl ja puutuja
Punktid A(9;10) ja B asuvad ringjoonel, mille keskpunkt on P(x;3). Lõigu AB keskpunkt on M(11;7).
1.Arvutage ringjoone keskpunkti P abstsiss x.
2.Koostage võrrand sirgele, millel asub lõik AB.
3.Leidke ringjoonele punktis A joonestatud puutuja tõus.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 8
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 46,3% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Leia kõigepealt punkt B keskpunkti valemist. Keskpunkt P on punktidest A ja B võrdsel kaugusel, sest mõlemad on ringjoonel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkti B koordinaadid
Esimeses küsimuses tuleb leida keskpunkti P abstsiss. Selleks on vaja punkti B, mille koordinaadid saame lõigu keskpunkti valemist. Tähistame B(xB;yB).
Keskpunkti abstsiss on otspunktide abstsisside keskmine.
29+xB=11⇒9+xB=22⇒xB=13
Keskpunkti ordinaat on otspunktide ordinaatide keskmine.
210+yB=7⇒10+yB=14⇒yB=4
110xyA(9;10)M(11;7)B(13;4)
Keskpunkti valem: M(2x1+x2;2y1+y2). Seega B(13;4).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Avalda kaugused PA ja PB
Punktid A ja B on ringjoonel, seega on mõlemad keskpunktist raadiuse kaugusel. Avaldame mõlemad kaugused tundmatu x kaudu.
Kahe punkti kauguse valem punktide P(x;3) ja A(9;10) jaoks.
PA2=(9−x)2+(10−3)2=(x−9)2+49
Sama valem punktide P(x;3) ja B(13;4) jaoks.
PB2=(13−x)2+(4−3)2=(x−13)2+1
Kauguse valemis on ruutjuur. Kui kaugused on võrdsed, on võrdsed ka nende ruudud, seega on mugavam töötada kauguste ruutudega ja juurt mitte kirjutada. (9−x)2=(x−9)2, sest vastandarvude ruudud on võrdsed.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Võrdsusta ja lahenda
Raadiused on võrdsed, seega PA2=PB2.
(x−9)2+49=(x−13)2+1
Avame sulud vahe ruudu valemiga.
x2−18x+81+49=x2−26x+169+1
Liikmed x2 koonduvad. Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale.
−18x+26x=170−130
Koondame ja jagame arvuga 8.
8x=40⇒x=5
110xyA(9;10)M(11;7)B(13;4)P(5;3)
Keskpunkt on P(5;3) ja raadius r=(5−9)2+49=65. Teine võimalus: lõik PM on võrdhaarse kolmnurga APB kõrgus, seega PM⊥AB; see annab sama tulemuse.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta sirge AB võrrand
Teises küsimuses tuleb koostada sirge AB võrrand. Leiame kõigepealt tõusu kahe punkti kaudu.
Tõus punktide A(9;10) ja B(13;4) järgi.
k=x2−x1y2−y1=13−94−10=4−6=−23
Kirjutame sirge võrrandi punkti A ja tõusu kaudu.
y−10=−23(x−9)
Korrutame võrrandit arvuga 2 ja avame sulud.
2y−20=−3x+27
Viime x-iga liikme vasakule ja arvu paremale.
3x+2y=47
110xy3x+2y=47A(9;10)M(11;7)B(13;4)P(5;3)
Kontroll punktiga B: 3⋅13+2⋅4=39+8=47. Sama sirge võrrand tõusu kujul on y=−1,5x+23,5.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia raadiuse PA tõus
Kolmandas küsimuses on vaja puutuja tõusu. Ringjoone puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.
Raadiuse PA tõus punktide P(5;3) ja A(9;10) järgi.
kPA=9−510−3=47
Tõusu saab lugeda ka vektorist PA=(4;7): tõus on 47.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia puutuja tõus
Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
kPA⋅k=−1
Asendame kPA=47 ja avaldame k.
47⋅k=−1⇒k=−74
110xy3x+2y=47k=−74A(9;10)M(11;7)B(13;4)P(5;3)
Puutuja ja raadius on teineteisega risti, seega nende tõusud on teineteise vastandarvude pöördväärtused: 47 pöördväärtus on 74 ja märk muutub.
VASTUS
1) Ringjoone keskpunkti abstsiss on x=5. 2) Sirge AB võrrand on 3x+2y=47 ehk y=−1,5x+23,5. 3) Puutuja tõus punktis A on −74.