Põhikooli lõpueksam 2015, ülesanne 6: Ruutfunktsiooni valem, graafik ja sirge

Esimeses küsimuses tuleb leida kordajad $a$ ja $c$. Teame kahte graafiku punkti: haripunkti $H(0;\,-2)$ ja punkti $A(2;\,6)$. Kui punkt asub graafikul, siis selle koordinaadid rahuldavad funktsiooni valemit. Seega asendame valemis $x$ ja $y$ asemele punkti koordinaadid.

Kirjutame funktsiooni valemi.

Haripunkt asub graafikul. Asendame selle koordinaadid $x = 0$ ja $y = -2$.

Et $0^2 = 0$ ja $a \cdot 0 = 0$, jääb paremale alles ainult vabaliige.

Saame vabaliikme.

Teame nüüd, et $c = -2$. Kordaja $a$ leidmiseks kasutame teist punkti $A(2;\,6)$, mis samuti asub graafikul.

Kirjutame valemi, kuhu on asendatud $c = -2$.

Asendame punkti $A$ koordinaadid $x = 2$ ja $y = 6$.

Arvutame astme: $2^2 = 4$.

Jätame $a$-ga liikme ühele poole ja viime arvu $-2$ teisele poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Liidame arvud. Et $a$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $4$.

Saame ruutliikme kordaja.

Teises küsimuses tuleb kirjutada funktsiooni valem. Selleks asendame üldkujus $y = ax^2 + c$ leitud kordajad $a = 2$ ja $c = -2$.

Kirjutame funktsiooni üldkuju.

Asendame $a = 2$ ja $c = -2$. Pluss ja miinus annavad kokku miinuse.

Saame funktsiooni valemi.

Kontrollime, et punkt $A(2;\,6)$ asub graafikul: asendame valemisse $x = 2$.

Kolmandas küsimuses tuleb leida nullkohad. Nullkoht on selline $x$ väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null ehk $y = 0$. Nullkohas lõikab graafik $x$-telge.

Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga.

Viime arvu $-2$ paremale poole. Et $x^2$ jääks üksi, jagame siis võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Jagamise järel jääb vasakule $x^2$.

Võtame ruutjuure. Ruutu tõstes kaob märk, seega sobivad nii positiivne kui ka negatiivne ruutjuur.

Kirjutame nullkohad kasvavas järjekorras.

Neljandas küsimuses tuleb joonestada graafik. Graafik on parabool, mis avaneb üles, sest $a = 2 > 0$. Haripunkt on $H(0;\,-2)$. Joonestamiseks arvutame väärtuste tabeli: valime haripunktist mõlemale poole mõned $x$ väärtused ja arvutame igaühe jaoks $y$ valemiga $y = 2x^2 - 2$.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 0$.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 1$.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 2$.

Kui $x = -1$ või $x = -2$, on ruut sama mis arvudel $1$ ja $2$, seega on ka $y$ sama.

Kanname tulemused väärtuste tabelisse.

Ühendame tabeli punktid sujuva kõverjoonega. Saame funktsiooni graafiku.

Viiendas küsimuses tuleb uurida, kas sirge $y = 2x - 4$ lõikab parabooli. Joonestame kõigepealt ka sirge. Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist, kolmas punkt on kontrolliks.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 0$.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 1$.

Arvutame $y$ väärtuse, kui $x = 2$.

Kanname tulemused väärtuste tabelisse.

Tõmbame läbi tabeli punktide sirge.

Kui graafikud lõikuvad, siis lõikepunktis on mõlemal funktsioonil sama $x$ ja sama $y$. Seega peab lõikepunkti $x$ rahuldama võrrandit, kus parabooli ja sirge avaldised on võrdsed.

Võrdsustame parabooli ja sirge avaldised.

Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikmete märk muutub.

Koondame sarnased liikmed ja järjestame need. Kõik kordajad on paarisarvud, seega jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Saame lihtsama ruutvõrrandi.

Ruutvõrrandi kordajad on $a = 1$, $b = -1$ ja $c = 1$. (Need ei ole funktsiooni kordajad $a$ ja $c$.)

Asendame kordajad lahendivalemisse.

Arvutame ruutjuure all oleva avaldise.

Ruutjuure all on negatiivne arv. Negatiivsest arvust ruutjuurt võtta ei saa, seega võrrandil $x^2 - x + 1 = 0$ lahendid puuduvad.

Ei ole ühtegi $x$-i, mille korral parabool ja sirge oleksid samal kõrgusel. Graafikutel pole ühist punkti, seega sirge ei lõika parabooli.