Põhikooli lõpueksam 2017, ülesanne 3: Lineaarvõrrand, ruutvõrrand ja lahendite absoluutväärtused

Esimeses küsimuses tuleb lahendada murdudega lineaarvõrrand. Vabaneme kõigepealt murdudest.

Nimetajate $7$, $3$ ja $42$ vähim ühiskordne on $42$. Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $42$.

Taandame: $42 : 7 = 6$, $42 : 3 = 14$ ja $42 : 42 = 1$. Lugejad paneme sulgudesse, sest korrutada tuleb kogu lugejat.

Avame sulud. Teise sulu ees on $-14$, seega muutub sulgudes mõlema liikme märk.

Koondame sarnased liikmed: $12x - 14x = -2x$ ja $30 - 28 = 2$.

Jätame $x$-iga liikme vasakule ja viime arvu $2$ paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Arvutame paremal. Et $x$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $-2$.

Kahe negatiivse arvu jagatis on positiivne.

Kontrollime lahendit esialgses võrrandis. Arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).

Arvutame võrrandi vasaku poole, kui $x = \frac{1}{2}$.

Teise murru laiendame kahega: $\frac{2{,}5}{3} = \frac{5}{6}$. Seejärel viime murrud ühisele nimetajale $42$.

Võrrandi parem pool on antud.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega $x = \frac{1}{2}$ on võrrandi lahend.

Teises küsimuses tuleb lahendada ruutvõrrand. Kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit.

Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.

Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.

Asendame kordajad valemisse. Negatiivsed arvud paneme sulgudesse.

Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure.

Esimese lahendi saame plussmärgiga.

Teise lahendi saame miinusmärgiga. Taandame murru kahega.

Kontrollime mõlemat lahendit. Võrrandi parem pool on null, seega peab ka vasak pool tulema null.

Arvutame võrrandi vasaku poole, kui $x = 2$.

Parem pool on null. Vasak ja parem pool on võrdsed, seega $x = 2$ sobib.

Arvutame võrrandi vasaku poole, kui $x = -\frac{1}{2}$. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.

Ka siin on vasak ja parem pool võrdsed, seega $x = -\frac{1}{2}$ sobib.

Kolmandas küsimuses tuleb liita mõlema võrrandi kõigi lahendite absoluutväärtused. Lahendeid on kokku kolm: $\frac{1}{2}$, $2$ ja $-\frac{1}{2}$.

Positiivse arvu absoluutväärtus on arv ise, negatiivse arvu absoluutväärtus on tema vastandarv.

Liidame absoluutväärtused.