Põhikooli lõpueksam 2017, ülesanne 4: Ristkülik ja selle diagonaalile joonestatud ruut
Joonisel on ristkülik ABCD ja ruut ACEF. Ristküliku üks külg on teisest 7 dm võrra pikem ja ristküliku ümbermõõt on 34 dm.
1.Arvuta ristküliku diagonaali AC pikkus.
2.Arvuta ristküliku ABCD pindala.
3.Arvuta ruudu ACEF pindala.
4.Arvuta viirutatud kujundi ADCEF pindala.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2017, ülesanne 4
Ülesande joonis
ABCDEF
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ristküliku ümbermõõt on kahe erineva külje summa kahekordselt. Tähista lühem külg tähega x, siis on pikem külg x+7. Diagonaal AC on täisnurkse kolmnurga ABC hüpotenuus ja ühtlasi ruudu külg.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia ristküliku küljed
Esimeses küsimuses tuleb leida diagonaal AC. Selleks on vaja ristküliku külgi. Olgu ristküliku lühem külg x dm, siis pikem külg on (x+7) dm.
Kirjutame ristküliku ümbermõõdu valemi, kus a ja b on ristküliku küljed.
P=2(a+b)
Asendame a=x, b=x+7 ja P=34. Jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 2.
2⋅(x+x+7)=34:2
Jagamise järel jääb vasakule külgede summa. Koondame x+x=2x.
2x+7=17
Viime arvu 7 paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
2x=17−7
Arvutame paremal. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 2.
2x=10:2
Saame lühema külje pikkuse.
x=10:2=5 (dm)
Pikem külg on 7 dm võrra pikem.
x+7=5+7=12 (dm)
xx+7ABCDEF
Ristkülikul on kaks paari võrdseid külgi, seega on ümbermõõt kahe erineva külje summa kahekordselt. Kahe erineva külje summa on pool ümbermõõdust ehk 17 dm.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia diagonaal Pythagorase teoreemiga
Ristküliku nurgad on täisnurgad, seega on kolmnurk ABC täisnurkne. Diagonaal AC on selle hüpotenuus ja kaatetid on ristküliku küljed.
Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurga ABC jaoks.
AC2=AB2+BC2
Asendame kaatetid AB=5 dm ja BC=12 dm ning arvutame ruudud.
AC2=52+122=25+144=169
Võtame ruutjuure. Et 132=169, siis 169=13.
AC=169=13 (dm)
5 dm12 dm13 dmABCDEF
Diagonaal jaotab ristküliku kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks ABC ja ACD.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta ristküliku pindala
Teises küsimuses tuleb leida ristküliku ABCD pindala. Küljed on meil juba teada.
Kirjutame ristküliku pindala valemi.
S=ab
Asendame küljed a=5 dm ja b=12 dm.
SABCD=5⋅12=60(dm2)
5 dm12 dmS=60 dm2ABCDEF
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Arvuta ruudu pindala
Kolmandas küsimuses tuleb leida ruudu ACEF pindala. Ruudu külg on diagonaal AC=13 dm.
Ruudu pindala on külje ruut.
S=a2
Asendame ruudu külje a=13 dm.
SACEF=132=169(dm2)
5 dm12 dm13 dmS=169 dm2ABCDEF
Seda arvu nägime juba Pythagorase teoreemis: AC2=169. Ruudu pindala ongi diagonaali ruut.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Leia kolmnurga ACD pindala
Neljandas küsimuses tuleb leida viirutatud kujundi ADCEF pindala. Ristküliku tipp D asub ruudu sees, seega on viirutatud kujund ruut, millest on välja lõigatud kolmnurk ACD.
Diagonaal AC jaotab ristküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. Seega on kolmnurga ACD pindala pool ristküliku pindalast.
SACD=2SABCD=260=30(dm2)
5 dm12 dm13 dm30 dm2ABCDEF
Sama saab kaatetite kaudu: kolmnurk ACD on täisnurkne (täisnurk tipus D), seega SACD=212⋅5=30 dm².
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Lahuta ruudu pindalast kolmnurga pindala
Viirutatud kujund on ruut ilma kolmnurgata ACD. Lahutame ruudu pindalast kolmnurga pindala.
SADCEF=SACEF−SACD=169−30=139(dm2)
5 dm12 dm13 dmS=139 dm2ABCDEF
VASTUS
1) Ristküliku diagonaali AC pikkus on 13 dm. 2) Ristküliku ABCD pindala on 60 dm2. 3) Ruudu ACEF pindala on 169 dm2. 4) Viirutatud kujundi ADCEF pindala on 139 dm2.